গণিত • BUET • বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০০৭-২০০৮

গণিত প্রশ্ন

7.

ধারাটির যোগফল নির্ণয় কর:  1+(1+12)+(1+12+122)+(1+12+122+123)+ 1 + \left ( 1 + \frac{1}{2} \right ) + \left ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} \right ) + \left ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} \right ) +   ……Up→(n+1)terms \ldots \ldots U p \to \left ( n + 1 \right ) t e r m s

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত ধারার rr-তম পদ,
Tr=1+12+122+⋯+12r−1T_r = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{r-1}}

এটি একটি গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ a=1a = 1 এবং সাধারণ অনুপাত q=12q = \frac{1}{2}।
∴Tr=1(1−12r)1−12=2(1−12r)=2−12r−1\therefore T_r = \frac{1 \left(1 - \frac{1}{2^r}\right)}{1 - \frac{1}{2}} = 2\left(1 - \frac{1}{2^r}\right) = 2 - \frac{1}{2^{r-1}}

ধারার (n+1)(n+1) সংখ্যক পদের যোগফল:
Sn+1=∑r=1n+1Tr=∑r=1n+1(2−12r−1)S_{n+1} = \sum_{r=1}^{n+1} T_r = \sum_{r=1}^{n+1} \left(2 - \frac{1}{2^{r-1}}\right)
=∑r=1n+12−∑r=1n+112r−1= \sum_{r=1}^{n+1} 2 - \sum_{r=1}^{n+1} \frac{1}{2^{r-1}}
=2(n+1)−(1+12+122+⋯+12n)= 2(n + 1) - \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n}\right)
=2n+2−1⋅(1−12n+1)1−12= 2n + 2 - \frac{1 \cdot \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)}{1 - \frac{1}{2}}
=2n+2−2(1−12n+1)= 2n + 2 - 2\left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)
=2n+2−2+22n+1= 2n + 2 - 2 + \frac{2}{2^{n+1}}
=2n+12n= 2n + \frac{1}{2^n}

অতএব, নির্ণেয় যোগফল 2n+12n2n + \frac{1}{2^n}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন