Equation of the plane containing the straight line x2=y3=z4 \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} and perpendicular to the plane containing the straight lines x3=y4=z2 \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{2} and x4=y2=z3is− \frac{x}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} i s -

Question

Equation of the plane containing the straight line x2=y3=z4 \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} and perpendicular to the plane containing the straight lines  x3=y4=z2 \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{2} and  x4=y2=z3is− \frac{x}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} i s -

Accepted Answer

গ. x-2y+z=0

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত দ্বিতীয় সমতলটি $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{2}$ এবং $\frac{x}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ সরলরেখাদ্বয় ধারণ করে।
এই সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর $\vec{n}_1$ হবে রেখাদ্বয়ের দিক নির্দেশক ভেক্টরের গুণফল:
$\vec{n}_1 = (3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}) 	imes (4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$
$= \hat{i}(12 - 4) - \hat{j}(9 - 8) + \hat{k}(6 - 16) = 8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$

নির্ণেয় সমতলটি $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ রেখাটি ধারণ করে (যার দিক নির্দেশক ভেক্টর $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ এবং এটি মূলবিন্দু $(0,0,0)$ দিয়ে যায়) এবং ওপরের সমতলের ওপর লম্ব (ফলে $\vec{n}_1$ নির্ণেয় সমতলের সমান্তরাল)।

সুতরাং নির্ণেয় সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর $\vec{n}$ হবে:
$\vec{n} = \vec{b} 	imes \vec{n}_1 = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) 	imes (8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k})$
$= \hat{i}(-30 + 4) - \hat{j}(-20 - 32) + \hat{k}(-2 - 24) = -26\hat{i} + 52\hat{j} - 26\hat{k} = -26(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$

যেহেতু সমতলটি মূলবিন্দু $(0,0,0)$ দিয়ে যায়, এর সমীকরণ:
$1(x - 0) - 2(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \implies x - 2y + z = 0$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন