উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[3−1−11−311−13] A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & -1 \ 1 & -3 & 1 \ 1 & -1 & 3 \end{array}\right]

  1. ক)

    a=3 a=3 হলে, দেখাও যে, [aa+1−a+1−a] \left[\begin{array}{cc}a & a+1 \ -a+1 & -a\end{array}\right] একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স।

    (1)
  2. খ)

    A2−2A+3I A^{2}-2 A+3 I নির্ণয় কর; যেখানে I I একটি একক ম্যাট্রিক্স।

    (2)
  3. গ)

    AB=I A B=I হলে, B B নির্ণয় কর; যেখানে I=[100010001] I=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1\end{array}\right] .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, M=[aa+1−a+1−a]M = \begin{bmatrix} a & a+1 \\ -a+1 & -a \end{bmatrix}
    a=3a=3 হলে,
    M=[34−2−3]M = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}

    এখন,
    M2=M×M=[34−2−3][34−2−3]M^2 = M \times M = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}
    =[(3)(3)+(4)(−2)(3)(4)+(4)(−3)(−2)(3)+(−3)(−2)(−2)(4)+(−3)(−3)]= \begin{bmatrix} (3)(3) + (4)(-2) & (3)(4) + (4)(-3) \\ (-2)(3) + (-3)(-2) & (-2)(4) + (-3)(-3) \end{bmatrix}
    =[9−812−12−6+6−8+9]= \begin{bmatrix} 9 - 8 & 12 - 12 \\ -6 + 6 & -8 + 9 \end{bmatrix}
    =[1001]=I= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I

    যেহেতু M2=IM^2 = I, সুতরাং ম্যাট্রিক্সটি একটি অভেদঘাতী (Involutory) ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A=[3−1−11−311−13]A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}

    A2=A⋅A=[3−1−11−311−13][3−1−11−311−13]A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}
    =[9−1−1−3+3+1−3−1−33−3+1−1+9−1−1−3+33−1+3−1+3−3−1−1+9]= \begin{bmatrix} 9 - 1 - 1 & -3 + 3 + 1 & -3 - 1 - 3 \\ 3 - 3 + 1 & -1 + 9 - 1 & -1 - 3 + 3 \\ 3 - 1 + 3 & -1 + 3 - 3 & -1 - 1 + 9 \end{bmatrix}
    =[71−717−15−17]= \begin{bmatrix} 7 & 1 & -7 \\ 1 & 7 & -1 \\ 5 & -1 & 7 \end{bmatrix}

    এখন,
    A2−2A+3IA^2 - 2A + 3I
    =[71−717−15−17]−2[3−1−11−311−13]+3[100010001]= \begin{bmatrix} 7 & 1 & -7 \\ 1 & 7 & -1 \\ 5 & -1 & 7 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    =[71−717−15−17]−[6−2−22−622−26]+[300030003]= \begin{bmatrix} 7 & 1 & -7 \\ 1 & 7 & -1 \\ 5 & -1 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & -2 & -2 \\ 2 & -6 & 2 \\ 2 & -2 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}
    =[7−6+31−(−2)+0−7−(−2)+01−2+07−(−6)+3−1−2+05−2+0−1−(−2)+07−6+3]= \begin{bmatrix} 7 - 6 + 3 & 1 - (-2) + 0 & -7 - (-2) + 0 \\ 1 - 2 + 0 & 7 - (-6) + 3 & -1 - 2 + 0 \\ 5 - 2 + 0 & -1 - (-2) + 0 & 7 - 6 + 3 \end{bmatrix}
    =[43−5−116−3314]= \begin{bmatrix} 4 & 3 & -5 \\ -1 & 16 & -3 \\ 3 & 1 & 4 \end{bmatrix} (Ans.)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, AB=I⇒B=A−1=1det⁡(A)adj⁡(A)AB = I \Rightarrow B = A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)

    det⁡(A)=∣3−1−11−311−13∣\det(A) = \begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}
    =3(−9+1)−(−1)(3−1)+(−1)(−1+3)= 3(-9 + 1) - (-1)(3 - 1) + (-1)(-1 + 3)
    =3(−8)+1(2)−1(2)=−24+2−2=−24≠0= 3(-8) + 1(2) - 1(2) = -24 + 2 - 2 = -24 \neq 0

    সহগুণকসমূহ নির্ণয়:
    A11=+∣−31−13∣=−9+1=−8A_{11} = +\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -9 + 1 = -8
    A12=−∣1113∣=−(3−1)=−2A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 1) = -2
    A13=+∣1−31−1∣=−1+3=2A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 3 = 2

    A21=−∣−1−1−13∣=−(−3−1)=4A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -(-3 - 1) = 4
    A22=+∣3−113∣=9−(−1)=10A_{22} = +\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 9 - (-1) = 10
    A23=−∣3−11−1∣=−(−3+1)=2A_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 + 1) = 2

    A31=+∣−1−1−31∣=−1−3=−4A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 3 = -4
    A32=−∣3−111∣=−(3−(−1))=−4A_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(3 - (-1)) = -4
    A33=+∣3−11−3∣=−9−(−1)=−8A_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -9 - (-1) = -8

    সহগুণক ম্যাট্রিক্সের রূপান্তর (Adjoint matrix):
    adj⁡(A)=[−8−224102−4−4−8]T=[−84−4−210−422−8]\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} -8 & -2 & 2 \\ 4 & 10 & 2 \\ -4 & -4 & -8 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -8 & 4 & -4 \\ -2 & 10 & -4 \\ 2 & 2 & -8 \end{bmatrix}

    ∴B=A−1=1−24[−84−4−210−422−8]\therefore B = A^{-1} = \frac{1}{-24} \begin{bmatrix} -8 & 4 & -4 \\ -2 & 10 & -4 \\ 2 & 2 & -8 \end{bmatrix}
    =−112[−42−2−15−211−4]=[13−1616112−51216−112−11213]= -\frac{1}{12} \begin{bmatrix} -4 & 2 & -2 \\ -1 & 5 & -2 \\ 1 & 1 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{12} & -\frac{5}{12} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{12} & \frac{1}{3} \end{bmatrix} (Ans.)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন