পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো রাশিমালার মানগুলো থেকে তাদের গড় বা অন্য কোনো নির্দিষ্ট মানের ব্যবধানের বিভিন্ন ঘাতের গড় মানকে পরিঘাত (Moment) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   না, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের মান কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।
   দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের সংজ্ঞা হলো $\mu_2 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \bar{x})^2$, যা প্রকৃতপক্ষে নিবেশনের ভেদাঙ্ক (Variance)। যেহেতু কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সর্বদা অঋণাত্মক (বা ধনাত্মক) হয়, তাই এদের সমষ্টি ও গড়ও সর্বদা অঋণাত্মক হয়। মানগুলো পরস্পর অসমান হলে এর মান সর্বদা ধনাত্মক হবে, কখনোই ঋণাত্মক হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে যেকোনো ধ্রুবক $A = 2$ এর সাপেক্ষে অশোধিত পরিঘাতগুলো হলো:
   $\mu'_1 = 1$
   $\mu'_2 = 2.5$
   $\mu'_3 = 5.5$
   $\mu'_4 = 16$

   আমরা জানি, চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত ($\mu_4$) এবং অশোধিত পরিঘাতের মধ্যকার সম্পর্ক:
   $\mu_4 = \mu'_4 - 4\mu'_3\mu'_1 + 6\mu'_2(\mu'_1)^2 - 3(\mu'_1)^4$

   মান বসিয়ে পাই,
   $\mu_4 = 16 - 4(5.5)(1) + 6(2.5)(1)^2 - 3(1)^4$
   $\mu_4 = 16 - 22 + 6(2.5) - 3(1)$
   $\mu_4 = 16 - 22 + 15 - 3$
   $\mu_4 = (16 + 15) - (22 + 3) = 31 - 25 = 6$

   অতএব, চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাতের মান 6।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সূচালতাঙ্ক নির্ণয় করতে দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত ($\mu_2$) এবং চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত ($\mu_4$) প্রয়োজন।

   'গ' হতে পাই,
   $\mu_4 = 6$

   দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত,
   $\mu_2 = \mu'_2 - (\mu'_1)^2 = 2.5 - (1)^2 = 2.5 - 1 = 1.5$

   কার্ল পিয়ারসনের সূচালতাঙ্ক ($\beta_2$) নির্ণয়ের সূত্র:
   $\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} = \frac{6}{(1.5)^2} = \frac{6}{2.25} \approx 2.67$

   মন্তব্য:
   পরিমিত বা মধ্যম সূঁচালো নিবেশনের ক্ষেত্রে $\beta_2 = 3$ হয়।
   যেহেতু এখানে $\beta_2 < 3$ (অর্থাৎ $2.67 < 3$), তাই প্রদত্ত নিবেশনটি অনতিসূঁচালো বা চ্যাপ্টা আকৃতির (Platykurtic)।