উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

PQR একটি ত্রিভুজ।

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, 2cos⁡x=2+2+2cos⁡4x 2\cos x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos 4x}}

    (1)
  2. খ)

    উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, 1+4sin⁡Q+R4⋅sin⁡R+P4⋅sin⁡P+Q4=sin⁡P2+sin⁡Q2+sin⁡R2 1 + 4\sin \frac{Q+R}{4} \cdot \sin \frac{R+P}{4} \cdot \sin \frac{P+Q}{4} = \sin \frac{P}{2} + \sin \frac{Q}{2} + \sin \frac{R}{2}

    (2)
  3. গ)

    উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, p3cos⁡(Q−R)+q3cos⁡(R−P)+r3cos⁡(P−Q)=3pqr p^3\cos(Q - R) + q^3\cos(R - P) + r^3\cos(P - Q) = 3pqr .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ডানপক্ষ =2+2+2cos⁡4x=2+2(1+cos⁡4x)=2+4cos⁡22x=2+2cos⁡2x=2(1+cos⁡2x)=4cos⁡2x=2cos⁡x=বামপক্ষ= \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos 4x}} = \sqrt{2 + \sqrt{2(1 + \cos 4x)}} = \sqrt{2 + \sqrt{4\cos^2 2x}} = \sqrt{2 + 2\cos 2x} = \sqrt{2(1 + \cos 2x)} = \sqrt{4\cos^2 x} = 2\cos x = \text{বামপক্ষ} (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বামপক্ষ =1+4sin⁡Q+R4⋅sin⁡R+P4⋅sin⁡P+Q4= 1 + 4\sin \frac{Q+R}{4} \cdot \sin \frac{R+P}{4} \cdot \sin \frac{P+Q}{4}
    =1+2sin⁡Q+R4[cos⁡(R−Q4)−cos⁡(2P+Q+R4)]= 1 + 2\sin \frac{Q+R}{4} \left[\cos\left(\frac{R-Q}{4}\right) - \cos\left(\frac{2P+Q+R}{4}\right)\right]
    P+Q+R=πP+Q+R = \pi বসিয়ে পাই,
    =1+2sin⁡(π−P4)cos⁡(R−Q4)−2sin⁡(π−P4)cos⁡(π+P4)= 1 + 2\sin\left(\frac{\pi-P}{4}\right)\cos\left(\frac{R-Q}{4}\right) - 2\sin\left(\frac{\pi-P}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi+P}{4}\right)
    =1+[sin⁡R2+sin⁡Q2]−[sin⁡π2−sin⁡P2]= 1 + \left[\sin \frac{R}{2} + \sin \frac{Q}{2}\right] - \left[\sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{P}{2}\right]
    =1+sin⁡R2+sin⁡Q2−1+sin⁡P2=sin⁡P2+sin⁡Q2+sin⁡R2=ডানপক্ষ= 1 + \sin \frac{R}{2} + \sin \frac{Q}{2} - 1 + \sin \frac{P}{2} = \sin \frac{P}{2} + \sin \frac{Q}{2} + \sin \frac{R}{2} = \text{ডানপক্ষ} (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    সাইন সূত্রানুসারে, pcos⁡(Q−R)=2R′sin⁡(Q+R)cos⁡(Q−R)=R′(sin⁡2Q+sin⁡2R)=qcos⁡Q+rcos⁡Rp\cos(Q-R) = 2R'\sin(Q+R)\cos(Q-R) = R'(\sin 2Q + \sin 2R) = q\cos Q + r\cos R
    ∴p3cos⁡(Q−R)=p2(qcos⁡Q+rcos⁡R)\therefore p^3\cos(Q-R) = p^2(q\cos Q + r\cos R)
    অনুরূপভাবে,
    q3cos⁡(R−P)=q2(rcos⁡R+pcos⁡P)q^3\cos(R-P) = q^2(r\cos R + p\cos P)
    r3cos⁡(P−Q)=r2(pcos⁡P+qcos⁡Q)r^3\cos(P-Q) = r^2(p\cos P + q\cos Q)
    বামপক্ষ =pq(pcos⁡Q+qcos⁡P)+qr(qcos⁡R+rcos⁡Q)+rp(rcos⁡P+pcos⁡R)= pq(p\cos Q + q\cos P) + qr(q\cos R + r\cos Q) + rp(r\cos P + p\cos R)
    অভিক্ষেপ সূত্র pcos⁡Q+qcos⁡P=rp\cos Q + q\cos P = r, qcos⁡R+rcos⁡Q=pq\cos R + r\cos Q = p এবং rcos⁡P+pcos⁡R=qr\cos P + p\cos R = q প্রয়োগ করে পাই,
    =pq(r)+qr(p)+rp(q)=3pqr=ডানপক্ষ= pq(r) + qr(p) + rp(q) = 3pqr = \text{ডানপক্ষ} (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন