উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-২: m=sin⁡2α,n=sin⁡2β,r=sin⁡2γ m=\sin 2 \alpha, n=\sin 2 \beta, r=\sin 2 \gamma এবং α+β+γ=π \alpha+\beta+\gamma=\pi .

  1. ক)

    tan⁡75∘ \tan 75^{\circ} এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, b+ca=2cos⁡B−C2 \frac{b+c}{a}=2 \cos \frac{B-C}{2} .

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এর আনোকে প্রমাণ কর যে,m2+n2+r2+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=2. m^{2}+n^{2}+r^{2}+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma=2 .

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    আমরা জানি,
    tan⁡75∘=tan⁡(45∘+30∘)\tan 75^{\circ} = \tan(45^{\circ} + 30^{\circ})
    =tan⁡45∘+tan⁡30∘1−tan⁡45∘tan⁡30∘= \frac{\tan 45^{\circ} + \tan 30^{\circ}}{1 - \tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}}
    =1+131−1⋅13=3+133−13=3+13−1= \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}
    লব ও হরকে (3+1)(\sqrt{3}+1) দ্বারা গুণ করে পাই,
    =(3+1)2(3−1)(3+1)=3+23+13−1=4+232=2+3= \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}

    উত্তর: 2+32+\sqrt{3}

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই, ত্রিভুজ ABCABC-তে ∠A=60∘\angle A = 60^{\circ}।
    আমরা জানি, ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
    asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
    যেখানে RR হলো ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ।

    অতএব, a=2Rsin⁡Aa = 2R\sin A, b=2Rsin⁡Bb = 2R\sin B, c=2Rsin⁡Cc = 2R\sin C।

    বামপক্ষ =b+ca= \frac{b+c}{a}
    =2Rsin⁡B+2Rsin⁡C2Rsin⁡A=sin⁡B+sin⁡Csin⁡A= \frac{2R\sin B + 2R\sin C}{2R\sin A} = \frac{\sin B + \sin C}{\sin A}
    =2sin⁡(B+C2)cos⁡(B−C2)2sin⁡A2cos⁡A2= \frac{2\sin\left(\frac{B+C}{2}\right)\cos\left(\frac{B-C}{2}\right)}{2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}}

    যেহেতু △ABC\triangle ABC-তে A+B+C=180∘A+B+C = 180^{\circ},
    সুতরাং B+C2=90∘−A2\frac{B+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}
    ∴sin⁡(B+C2)=sin⁡(90∘−A2)=cos⁡A2\therefore \sin\left(\frac{B+C}{2}\right) = \sin\left(90^{\circ} - \frac{A}{2}\right) = \cos\frac{A}{2}

    তাহলে,
    =2cos⁡A2cos⁡(B−C2)2sin⁡A2cos⁡A2=cos⁡(B−C2)sin⁡A2= \frac{2\cos\frac{A}{2}\cos\left(\frac{B-C}{2}\right)}{2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}} = \frac{\cos\left(\frac{B-C}{2}\right)}{\sin\frac{A}{2}}

    যেহেতু ∠A=60∘\angle A = 60^{\circ},
    =cos⁡(B−C2)sin⁡30∘=cos⁡(B−C2)12=2cos⁡(B−C2)=ডানপক্ষ= \frac{\cos\left(\frac{B-C}{2}\right)}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\cos\left(\frac{B-C}{2}\right)}{\frac{1}{2}} = 2\cos\left(\frac{B-C}{2}\right) = \text{ডানপক্ষ}
    (প্রমাণিত)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, m=sin⁡2αm = \sin 2\alpha, n=sin⁡2βn = \sin 2\beta, r=sin⁡2γr = \sin 2\gamma এবং α+β+γ=π\alpha + \beta + \gamma = \pi
      ⟹  2α+2β+2γ=2π\implies 2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 2\pi
      ⟹  2α+2β=2π−2γ\implies 2\alpha + 2\beta = 2\pi - 2\gamma

    বামপক্ষ =m2+n2+r2+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ= m^2 + n^2 + r^2 + 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma
    =sin⁡22α+sin⁡22β+sin⁡22γ+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ= \sin^2 2\alpha + \sin^2 2\beta + \sin^2 2\gamma + 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma
    =1−cos⁡22α+12(2sin⁡22β+2sin⁡22γ)+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ= 1 - \cos^2 2\alpha + \frac{1}{2}(2\sin^2 2\beta + 2\sin^2 2\gamma) + 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma
    =1−cos⁡22α+12(1−cos⁡4β+1−cos⁡4γ)+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ= 1 - \cos^2 2\alpha + \frac{1}{2}(1 - \cos 4\beta + 1 - \cos 4\gamma) + 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma
    =1−cos⁡22α+1−12(cos⁡4β+cos⁡4γ)+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ= 1 - \cos^2 2\alpha + 1 - \frac{1}{2}(\cos 4\beta + \cos 4\gamma) + 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma
    =2−cos⁡22α−12[2cos⁡(2β+2γ)cos⁡(2β−2γ)]+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ= 2 - \cos^2 2\alpha - \frac{1}{2}\left[2\cos(2\beta+2\gamma)\cos(2\beta-2\gamma)\right] + 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma
    =2−cos⁡22α−cos⁡(2π−2α)cos⁡(2β−2γ)+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ= 2 - \cos^2 2\alpha - \cos(2\pi - 2\alpha)\cos(2\beta - 2\gamma) + 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma
    =2−cos⁡22α−cos⁡2αcos⁡(2β−2γ)+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ= 2 - \cos^2 2\alpha - \cos 2\alpha\cos(2\beta - 2\gamma) + 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma
    =2−cos⁡2α[cos⁡2α+cos⁡(2β−2γ)]+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ= 2 - \cos 2\alpha\left[\cos 2\alpha + \cos(2\beta - 2\gamma)\right] + 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma
    =2−cos⁡2α[cos⁡(2π−(2β+2γ))+cos⁡(2β−2γ)]+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ= 2 - \cos 2\alpha\left[\cos(2\pi - (2\beta+2\gamma)) + \cos(2\beta - 2\gamma)\right] + 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma
    =2−cos⁡2α[cos⁡(2β+2γ)+cos⁡(2β−2γ)]+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ= 2 - \cos 2\alpha\left[\cos(2\beta+2\gamma) + \cos(2\beta - 2\gamma)\right] + 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma
    =2−cos⁡2α[2cos⁡2βcos⁡2γ]+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ= 2 - \cos 2\alpha\left[2\cos 2\beta\cos 2\gamma\right] + 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma
    =2−2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ= 2 - 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma + 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\cos 2\gamma
    =2=ডানপক্ষ= 2 = \text{ডানপক্ষ}
    (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন