উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ:
   $9x^2 - 4y^2 = 36$
   উভয়পক্ষকে $36$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$
   বা, $\frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{3^2} = 1$

   এখানে, $a^2 = 4$ এবং $b^2 = 9$।

   আমরা জানি, $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

   অতএব, নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{\sqrt{13}}{2}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত কণিকের সমীকরণ:
   $ax^2 + by^2 - 36x - 4y + 43 = 0$
   $a = 6$ এবং $b = 4$ বসিয়ে পাই,
   $6x^2 + 4y^2 - 36x - 4y + 43 = 0$
   বা, $6(x^2 - 6x) + 4(y^2 - y) + 43 = 0$
   বা, $6(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 4\left(y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) + 43 - 6(9) - 4\left(\frac{1}{4}\right) = 0$
   বা, $6(x - 3)^2 + 4\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + 43 - 54 - 1 = 0$
   বা, $6(x - 3)^2 + 4\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - 12 = 0$
   বা, $6(x - 3)^2 + 4\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = 12$

   উভয়পক্ষকে $12$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{(x - 3)^2}{2} + \frac{\left(y - \frac{1}{2}\right)^2}{3} = 1$

   ধরি, $X = x - 3$ এবং $Y = y - \frac{1}{2}$। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
   $\frac{X^2}{2} + \frac{Y^2}{3} = 1$
   এটি $\frac{X^2}{A^2} + \frac{Y^2}{B^2} = 1$ আকারের একটি উপবৃত্ত, যেখানে $A^2 = 2$ এবং $B^2 = 3$ (অর্থাৎ, $B > A$)।

   (i) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
   যেহেতু $B > A$, সেহেতু উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য
   $= \frac{2A^2}{B} = \frac{2 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ একক}$

   (ii) নিয়ামকের সমীকরণ:
   উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 - \frac{A^2}{B^2}} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

   নিয়ামকরেখার সমীকরণ:
   $Y = \pm \frac{B}{e}$
   বা, $y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}$
   বা, $y - \frac{1}{2} = \pm 3$

   ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $y - \frac{1}{2} = 3 \implies 2y - 1 = 6 \implies 2y - 7 = 0$

   ঋণাত্মক (-) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $y - \frac{1}{2} = -3 \implies 2y - 1 = -6 \implies 2y + 5 = 0$

   অতএব, কণিকটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $\frac{4}{\sqrt{3}}$ বা $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ একক এবং নিয়ামকের সমীকরণ $2y - 7 = 0$ ও $2y + 5 = 0$ (বা $2y - 1 = \pm 6$)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,
   পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $A(4, 2)$ এবং উপকেন্দ্র $S(0, 2)$।

   যেহেতু শীর্ষবিন্দু $A$ এবং উপকেন্দ্র $S$-এর কোটি সমান ($y = 2$), তাই পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ $y = 2$ (যা $x$-অক্ষের সমান্তরাল)।
   পরাবৃত্তটি ঋণাত্মক $x$-অক্ষের দিকে হাঁ করে উন্মুক্ত।

   আমরা জানি, শীর্ষবিন্দু $(\alpha, \beta)$ এবং অক্ষরেখা $x$-অক্ষের সমান্তরাল হলে পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $(y - \beta)^2 = 4a'(x - \alpha)$
   যেখানে $(\alpha, \beta) = (4, 2)$।
   এখানে, শীর্ষবিন্দু থেকে উপকেন্দ্রের ভেক্টর দূরত্ব $a' = x_S - x_A = 0 - 4 = -4$
   [অথবা দূরত্বের মান $|a| = \sqrt{(0 - 4)^2 + (2 - 2)^2} = 4$ এবং দিক বামমুখী হওয়ায় সমীকরণটি হবে $(y - 2)^2 = -4 \cdot 4(x - 4)$]।

   অতএব, পরাবৃত্তটির সমীকরণ:
   $(y - 2)^2 = 4(-4)(x - 4)$
   বা, $y^2 - 4y + 4 = -16(x - 4)$
   বা, $y^2 - 4y + 4 = -16x + 64$
   বা, $y^2 + 16x - 4y - 60 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ $y^2 + 16x - 4y - 60 = 0$ বা $(y - 2)^2 = -16(x - 4)$।