উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বলের লম্বাংশের উপপাদ্য:
   একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বলের কোনো নির্দিষ্ট দিক বরাবর লম্বাংশদ্বয়ের বীজগাণিতিক সমষ্টি বল দুইটির লব্ধির ঐ নির্দিষ্ট দিক বরাবর লম্বাংশের সমান।

   প্রমাণ:
   মনে করি, O বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি সমতলীয় বল P ও Q, যাদের লব্ধি R।
   O বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে যেকোনো নির্দিষ্ট দিক বরাবর OX রেখা নিই।
   ধরি, OX রেখার সাথে P, Q এবং R বলত্রয় যথাক্রমে α, β এবং θ কোণ উৎপন্ন করে।

   এখন, P, Q এবং R এর শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে A, B এবং C। OACB সামান্তরিক সম্পূর্ণ করি, যেখানে OA = P, OB = Q এবং OC = R।
   A, B ও C হতে OX এর উপর যথাক্রমে AL, BM এবং CN লম্ব টানি। আবার A হতে CN এর উপর AK লম্ব টানি।
   এখানে, চিত্রানুযায়ী OL = OA cos α = P cos α,
   OM = OB cos β = Q cos β,
   ON = OC cos θ = R cos θ।
   চিত্র হতে দেখা যায়, ON = OL + LN = OL + AK।
   যেহেতু ত্রিভুজ OBM এবং ত্রিভুজ ACK সর্বসম, সুতরাং AK = OM।
   অতএব, ON = OL + OM
   বা, R cos θ = P cos α + Q cos β।

   অর্থাৎ, নির্দিষ্ট দিক বরাবর লব্ধির লম্বাংশ = বলদ্বয়ের লম্বাংশের বীজগাণিতিক সমষ্টি। (প্রমাণিত)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, হেলানো তলের নতি কোণ α এবং তলের প্রতিক্রিয়া বল যথাক্রমে R₁ ও R₂।
   কাঁঠালটির ওজন W সর্বদা খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়া করে।

   ১ম ক্ষেত্রে:
   বল F₁ হেলানো ডালের ভূমির সমান্তরালে ক্রিয়ারত।
   তল বরাবর উপাংশ নিয়ে পাই:
   F₁ cos α - W sin α = 0
   ⇒ W sin α = F₁ cos α
   ⇒ tan α = F₁ / W ... (i)
   অতএব, sin α = F₁ / √(W² + F₁²) এবং cos α = W / √(W² + F₁²)

   ২য় ক্ষেত্রে:
   বল F₂ হেলানো ডালের দৈর্ঘ্যের সমান্তরালে (তল বরাবর উপরের দিকে) ক্রিয়ারত।
   তল বরাবর উপাংশ নিয়ে পাই:
   F₂ - W sin α = 0
   ⇒ sin α = F₂ / W ... (ii)

   (i) ও (ii) হতে sin α এর মান তুলনা করে:
   F₁ / √(W² + F₁²) = F₂ / W
   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
   F₁² / (W² + F₁²) = F₂² / W²
   ⇒ F₁² W² = F₂² (W² + F₁²)
   ⇒ F₁² W² = F₂² W² + F₁² F₂²
   ⇒ W² (F₁² - F₂²) = F₁² F₂²
   ⇒ W² = (F₁² F₂²) / (F₁² - F₂²)
   ⇒ W = (F₁ F₂) / √(F₁² - F₂²), যেখানে F₁ > F₂। (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, তক্তাটির দৈর্ঘ্য AB = 8 মিটার এবং ওজন W₁ = 42 কেজি।
   তক্তাটি সুষম হওয়ায় এর ওজন W₁ ঠিক মধ্যবিন্দু G-তে ক্রিয়া করে।
   অতএব, AG = BG = 4 মিটার।

   খুঁটি দুইটি যথাক্রমে A বিন্দুতে এবং C বিন্দুতে স্থাপিত।
   প্রশ্নমতে, C বিন্দুটি B প্রান্ত হতে 2 মিটার ভিতরে অবস্থিত, অর্থাৎ BC = 2 মিটার।
   সুতরাং, AC = AB - BC = 8 - 2 = 6 মিটার।
   এবং GC = AC - AG = 6 - 4 = 2 মিটার।

   ধরি, 55 কেজি ওজনের বালকটি উল্টে না গিয়ে B প্রান্তের দিকে C খুঁটি হতে x দূরত্বে D বিন্দু পর্যন্ত যেতে পারে।
   তক্তাটি উল্টে যাওয়ার উপক্রম হলে A প্রান্তে স্থাপিত খুঁটির উপর কোনো চাপ থাকবে না (প্রতিক্রিয়া শূন্য হবে)। তক্তাটি C খুঁটির সাপেক্ষে ভারসাম্য বজায় রাখবে।

   C বিন্দুর সাপেক্ষে বলসমূহের মোমেন্ট (আঘূর্ণ) নিয়ে পাই:
   42 × GC = 55 × CD
   ⇒ 42 × 2 = 55 × x
   ⇒ 55x = 84
   ⇒ x = 84 / 55 ≈ 1.527 মিটার।

   যেহেতু x = 1.527 মিটার < BC (2 মিটার), বালকটি তক্তা না উল্টিয়ে C হতে B-এর দিকে 1.527 মিটার যেতে পারবে।

   অতএব, B প্রান্ত হতে বালকটির দূরত্ব হবে = BC - x = 2 - 1.527 = 0.473 মিটার।
   অর্থাৎ, বালকটি C খুঁটি হতে B-এর দিকে 84/55 মিটার বা 1.527 মিটার (বা A বিন্দু হতে 7.527 মিটার) দূর যেতে পারবে।