গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, উল্লম্ব দেয়ালে দড়ির প্রান্তবিন্দু $A$, গোলকের পৃষ্ঠে দড়ির সংযোগবিন্দু $B$, গোলকের কেন্দ্র $O$ এবং গোলকটি দেয়ালকে $C$ বিন্দুতে স্পর্শ করে।

এখানে,
দড়ির দৈর্ঘ্য, $AB = 5\text{ ft}$
গোলকের ব্যাসার্ধ, $r = BO = OC = 10\text{ ft}$
সুতরাং, কেন্দ্র $O$ থেকে $A$ বিন্দুর দূরত্ব, $OA = AB + BO = 5 + 10 = 15\text{ ft}$

দেয়াল উল্লম্ব হওয়ায় গোলকের ওপর দেয়ালের অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া বল $R$, অনুভূমিক বরাবর $CO$ রেখা ধরে কেন্দ্র দিয়ে যায়। সুতরাং $\angle ACO = 90^\circ$।

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ACO$ হতে:
$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{15^2 - 10^2} = \sqrt{225 - 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\text{ ft}$

উল্লম্ব রেখা $AC$-এর সাথে দড়ির টান $T$-এর কোণ $\theta$ হলে,
$\cos\theta = \frac{AC}{OA} = \frac{5\sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

গোলকটির ওজন $W = 5\sqrt{5}\text{ kg}$ খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়া করে। উল্লম্ব বরাবর বলের সাম্যাবস্থা বিবেচনা করে পাই:
$T \cos\theta = W$
$\Rightarrow T \times \frac{\sqrt{5}}{3} = 5\sqrt{5}$
$\Rightarrow T = 5\sqrt{5} \times \frac{3}{\sqrt{5}} = 15\text{ kg}$

সুতরাং, দড়ির টান $15\text{ kg}$।