উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ:
   $16y^2 - 9x^2 = 144$
   উভয়পক্ষকে $144$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$
   বা, $\frac{y^2}{3^2} - \frac{x^2}{4^2} = 1$

   $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ আকারের অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ হলো:
   $\frac{y}{b} = \pm \frac{x}{a}$
   এখানে $b = 3$ এবং $a = 4$।
   অতএব, অসীমতটের সমীকরণ:
   $\frac{y}{3} = \pm \frac{x}{4}$
   $\implies 4y = \pm 3x$
   $\implies 3x \pm 4y = 0$

   উত্তর: $3x + 4y = 0$ এবং $3x - 4y = 0$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উপকেন্দ্র $S = (2,2)$।
   শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: $x + 2y + 6 = 0$ ... (i)
   অক্ষরেখা শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব এবং উপকেন্দ্র $S(2,2)$ দিয়ে যায়।
   সুতরাং, অক্ষরেখার সমীকরণ:
   $2x - y + k = 0$
   রেখাটি $(2,2)$ বিন্দুগামী হওয়ায়,
   $2(2) - 2 + k = 0 \implies 4 - 2 + k = 0 \implies k = -2$
   অতএব, অক্ষরেখার সমীকরণ: $2x - y - 2 = 0$ ... (ii)

   শীর্ষবিন্দু $A$ হলো স্পর্শক (i) ও অক্ষরেখা (ii) এর ছেদবিন্দু।
   (ii) থেকে পাই, $y = 2x - 2$
   (i)-এ মান বসিয়ে পাই:
   $x + 2(2x - 2) + 6 = 0$
   $\implies x + 4x - 4 + 6 = 0$
   $\implies 5x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{5}$
   $\therefore y = 2\left(-\frac{2}{5}\right) - 2 = -\frac{4}{5} - 2 = -\frac{14}{5}$
   সুতরাং, শীর্ষবিন্দু $A = \left(-\frac{2}{5}, -\frac{14}{5}\right)$।

   যদি নিয়ামকরেখা ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দু $Z(\alpha, \beta)$ হয়, তবে $A$, $S$ ও $Z$-এর মধ্যবিন্দু।
   $\therefore \frac{\alpha + 2}{2} = -\frac{2}{5} \implies \alpha + 2 = -\frac{4}{5} \implies \alpha = -\frac{14}{5}$
   $\frac{\beta + 2}{2} = -\frac{14}{5} \implies \beta + 2 = -\frac{28}{5} \implies \beta = -\frac{38}{5}$

   নিয়ামকরেখা স্পর্শকের সমান্তরাল, তাই এর সমীকরণ: $x + 2y + c = 0$
   এটি $Z\left(-\frac{14}{5}, -\frac{38}{5}\right)$ বিন্দুগামী হওয়ায়:
   $-\frac{14}{5} + 2\left(-\frac{38}{5}\right) + c = 0$
   $\implies -\frac{14 + 76}{5} + c = 0 \implies -\frac{90}{5} + c = 0 \implies -18 + c = 0 \implies c = 18$
   অতএব, নিয়ামকরেখার সমীকরণ: $x + 2y + 18 = 0$

   পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$ হলে, $SP = PM$ শর্তানুসারে:
   $(x-2)^2 + (y-2)^2 = \frac{(x + 2y + 18)^2}{1^2 + 2^2} = \frac{(x + 2y + 18)^2}{5}$
   $\implies 5[(x-2)^2 + (y-2)^2] = (x + 2y + 18)^2$
   $\implies 5(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + 4y^2 + 324 + 4xy + 72y + 36x$
   $\implies 5x^2 + 5y^2 - 20x - 20y + 40 = x^2 + 4xy + 4y^2 + 36x + 72y + 324$
   $\implies 4x^2 - 4xy + y^2 - 56x - 92y - 284 = 0$
   বা, $(2x - y)^2 - 56x - 92y - 284 = 0$

   উত্তর: $4x^2 - 4xy + y^2 - 56x - 92y - 284 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত কণিকের সমীকরণ:
   $4x^2 - 8x + 8y^2 - 8y = 0$
   উভয়পক্ষকে $4$ দ্বারা ভাগ করে বা বর্গ পূর্ণ করে পাই:
   $4(x^2 - 2x + 1) + 8(y^2 - y + \frac{1}{4}) = 4(1) + 8(\frac{1}{4})$
   $\implies 4(x - 1)^2 + 8\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = 4 + 2 = 6$

   উভয়পক্ষকে $6$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
   $\frac{(x - 1)^2}{\frac{6}{4}} + \frac{(y - \frac{1}{2})^2}{\frac{6}{8}} = 1$
   $\implies \frac{(x - 1)^2}{\frac{3}{2}} + \frac{(y - \frac{1}{2})^2}{\frac{3}{4}} = 1$

   এটি $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ আকারের সমীকরণ, যেখানে $X = x - 1$, $Y = y - \frac{1}{2}$, $a^2 = \frac{3}{2}$, $b^2 = \frac{3}{4}$।
   যেহেতু $a^2 > b^2 > 0$, সুতরাং কণিকটি একটি উপবৃত্ত (Ellipse)।

   এখানে, $a = \sqrt{\frac{3}{2}}$, $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3/4}{3/2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

   ১. উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:
   $X = \pm ae = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
   $\implies x - 1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
   $Y = 0 \implies y - \frac{1}{2} = 0 \implies y = \frac{1}{2}$
   অতএব, উপকেন্দ্রদ্বয়: $\left(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$

   ২. ফোকাস দূরত্ব (উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব):
   উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $= 2ae = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ একক
   (অথবা উপবৃত্তের যেকোনো বিন্দু $P$ এর ফোকাসদ্বয় হতে দূরত্বের সমষ্টি $SP + S'P = 2a = 2\sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{6}$ একক)

   ৩. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
   $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ একক

   উত্তর:

   • কণিকটি: উপবৃত্ত
   • উপকেন্দ্র: $\left(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
   • ফোকাস দূরত্ব (উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব): $\sqrt{3}$ একক
   • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $\sqrt{\frac{3}{2}}$ একক