পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যদি কোনো গতিশীল বস্তুকণার গতি এমন হয় যে, এটি এর গতিপথের কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুকে একটি নির্দিষ্ট সময় পরপর একই দিক থেকে অতিক্রম করে, তবে সেই গতিকে পর্যাবৃত্ত গতি বলে (বা পর্যায়ক্রমিক পরিবর্তনশীল ঘটনাকে পর্যাবৃত্ত বলে)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দোলকপিণ্ডটি তরলপূর্ণ অবস্থায় এর ভারকেন্দ্র পিণ্ডের ঠিক কেন্দ্রে থাকে। ছিদ্র দিয়ে তরল বের হতে শুরু করলে পিণ্ডের নিচের অংশে তরল বেশি থাকায় সামগ্রিক ভারকেন্দ্র নিচের দিকে নেমে যায়। ফলে দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য $L$ বৃদ্ধি পায়। আমরা জানি, পর্যায়কাল $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ অর্থাৎ $T \propto \sqrt{L}$। কার্যকর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাওয়ায় পর্যায়কাল বৃদ্ধি পায়, ফলে দোলকটি প্রথমে ধীরে চলে। পরবর্তীতে তরল সম্পূর্ণ বের হয়ে গেলে ফাঁপা পিণ্ডের ভারকেন্দ্র পুনরায় আগের স্থানে (কেন্দ্রে) ফিরে আসে। ফলে কার্যকর দৈর্ঘ্য কমে যায় এবং পর্যায়কাল হ্রাস পায়, অর্থাৎ দোলকটি আবার দ্রুত চলতে শুরু করে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ঠাকুরগাঁওয়ে সেকেন্ড দোলক সঠিক সময় দেয়। অতএব, ঠাকুরগাঁওয়ে দোলকটির পর্যায়কাল, $T = 2\text{ s}$।
   সাধারণত আদর্শ হিসেবে $g = 9.8\text{ ms}^{-2}$ ধরা হলে,
   কার্যকর দৈর্ঘ্য $L$ এর জন্য:
   $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
   বা, $L = \frac{g T^2}{4\pi^2} = \frac{9.8 \times 2^2}{4\pi^2} = \frac{9.8}{\pi^2} \approx 0.9929\text{ m}$ বা $99.29\text{ cm}$।
   সুতরাং, দোলকটির কার্যকর দৈর্ঘ্য প্রায় $0.993\text{ m}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, সমুদ্র সমতল (বা ঠাকুরগাঁওকে সমুদ্র সমতলে বিবেচনা করে) থেকে দার্জিলিং-এর উচ্চতা $h$।
   ঠাকুরগাঁওয়ে পর্যায়কাল, $T_1 = 2\text{ s}$ এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ $g_1$।
   দার্জিলিং-এ দোলকটি দিনে $30\text{ s}$ স্লো হয়।
   অতএব, দার্জিলিং-এ পর্যায়কাল $T_2 = \frac{86400 \times 2}{86400 - 30} = \frac{172800}{86370} \approx 2.000695\text{ s}$।

   আমরা জানি, $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$
   সুতরাং, $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{g_1}{g_2}}$
   আবার ভূপৃষ্ঠ থেকে $h$ উচ্চতায়, $g_2 = g_1 \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$
   বা, $\sqrt{\frac{g_1}{g_2}} = \frac{R+h}{R} = 1 + \frac{h}{R}$

   অতএব, $\frac{T_2}{T_1} = 1 + \frac{h}{R}$
   বা, $\frac{86400}{86400 - 30} = 1 + \frac{h}{R}$
   বা, $\frac{h}{R} = \frac{30}{86400 - 30} = \frac{30}{86370}$
   বা, $h = R \times \frac{30}{86370} = 6400\text{ km} \times \frac{30}{86370} \approx 2.223\text{ km} = 2223\text{ m}$।

   সুতরাং, তাপমাত্রাকে অগ্রাহ্য করে সমুদ্র সমতল থেকে দার্জিলিং-এর উচ্চতা গাণিতিকভাবে নির্ণয় করা সম্ভব এবং এর মান প্রায় $2.22\text{ km}$ বা $2223\text{ m}$।