উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পাথরটি ছাড়ার সময় ভূমির সাপেক্ষে বেলুনের ঊর্ধ্ববেগ 6 m/s-ই পাথরের আদিবেগ। ঊর্ধ্বদিক ধনাত্মক ও ছাড়ার উচ্চতা H হলে, $0=H+6(10)-\tfrac12g(10)^2$। তাই $H=50g-60$ মিটার। $g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$ ধরে উচ্চতা $\boxed{430\,\mathrm m}$; পাঠ্যবইয়ের আনুমানিক $g=10$ নিলে 440 m। পাথরকে ভূমির সাপেক্ষে শূন্য আদিবেগে ধরা যাবে না।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উৎসে $(2h-g^2)v^2+2hgtv=h^2g$ লেখা আছে। এটি হুবহু প্রমাণযোগ্য নয়: $2h$-এর মাত্রা দৈর্ঘ্য, অথচ $g^2$-এর মাত্রা $L^2T^{-4}$; এ দুটি বিয়োগ করা যায় না।

   ঢিলের পতনকাল ও শব্দের ঊর্ধ্বগমনকাল পৃথক। মুক্তপতন ও ধ্রুব শব্দবেগের মডেলে $t=\sqrt{2h/g}+h/v$। ফলে
   $(t-h/v)^2=2h/g$,
   $gt^2v^2-2ghtv+gh^2=2hv^2$।
   অতএব সঠিক সম্পর্ক
   $\boxed{(2h-gt^2)v^2+2hgtv=h^2g}$।
   ঘোষিত সংশোধন: উৎসের $g^2$-এর স্থানে $gt^2$ হলে এই সম্পর্কটি প্রমাণিত হয়; এটিকে মূল উৎসে নিশ্চিতভাবে ছিল বলে দাবি করা হচ্ছে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মডেল: ঢিলটি স্থির অবস্থা থেকে ছাড়া হয়, বায়ুর বাধা উপেক্ষিত, g ধ্রুব এবং পতনের আঘাতের পর শব্দ সৃষ্টি হতে বিলম্ব উপেক্ষিত।
   পতনকাল $t_1$ হলে $h=\tfrac12gt_1^2$, তাই $t_1=\sqrt{2h/g}$। তলদেশ থেকে মুখ পর্যন্ত শব্দ h দূরত্ব v বেগে আসে; শব্দের যাত্রাকাল $t_2=h/v$। শব্দ শোনা পর্যন্ত মোট সময় তাই
   $\boxed{t=t_1+t_2=\sqrt{2h/g}+h/v}$। উভয় সময় ধনাত্মক; t-কে শুধু পতনকাল ধরে নিলে শব্দের যাত্রাকাল বাদ পড়ে।