উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $\tan^2 \theta - 3 \text{cosec}^2 \theta + 1 = 0$
   $\Rightarrow \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \frac{3}{\sin^2 \theta} + 1 = 0$
   $\Rightarrow \sin^4 \theta - 3\cos^2 \theta + \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 0$
   $\Rightarrow \sin^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) - 3\cos^2 \theta = 0$
   $\Rightarrow \sin^2 \theta - 3\cos^2 \theta = 0$
   $\Rightarrow \sin^2 \theta = 3\cos^2 \theta$
   $\Rightarrow \tan^2 \theta = 3 = (\sqrt{3})^2 = \tan^2 \frac{\pi}{3}$

   আমরা জানি, $\tan^2 \theta = \tan^2 \alpha$ হলে, $\theta = n\pi \pm \alpha$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$।
   সুতরাং, $\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১: $a\sin x + b\cos x = 1$
   এখানে $a = \sqrt{3}$ এবং $b = 1$ হলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
   $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 1$

   উভয়পক্ষকে $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{1}{2}$
   $\Rightarrow \cos x \cos \frac{\pi}{3} + \sin x \sin \frac{\pi}{3} = \cos \frac{\pi}{3}$
   $\Rightarrow \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3}$

   আমরা জানি, $\cos \theta = \cos \alpha$ হলে $\theta = 2n\pi \pm \alpha$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$।
   $\Rightarrow x - \frac{\pi}{3} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$

   ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে: $x = 2n\pi + \frac{2\pi}{3}$
   ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে: $x = 2n\pi$

   যেহেতু ব্যবধি $-2\pi < x < 2\pi$:
   ১) $x = 2n\pi$ এর জন্য:
   $n = -1$ হলে, $x = -2\pi$ (ব্যবধির বাইরে)
   $n = 0$ হলে, $x = 0$
   $n = 1$ হলে, $x = 2\pi$ (ব্যবধির বাইরে)

   ২) $x = 2n\pi + \frac{2\pi}{3}$ এর জন্য:
   $n = -1$ হলে, $x = -2\pi + \frac{2\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$
   $n = 0$ হলে, $x = \frac{2\pi}{3}$
   $n = 1$ হলে, $x = 2\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$ (ব্যবধির বাইরে)

   অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $x = -\frac{4\pi}{3}, 0, \frac{2\pi}{3}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে, $f(x) = \cos x$।
   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $f(x) + f(3x) + f(5x) + f(7x) = 0$
   $\Rightarrow \cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x = 0$
   $\Rightarrow (\cos 7x + \cos x) + (\cos 5x + \cos 3x) = 0$
   $\Rightarrow 2\cos\left(\frac{7x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{7x-x}{2}\right) + 2\cos\left(\frac{5x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-3x}{2}\right) = 0$
   $\Rightarrow 2\cos 4x \cos 3x + 2\cos 4x \cos x = 0$
   $\Rightarrow 2\cos 4x (\cos 3x + \cos x) = 0$
   $\Rightarrow 2\cos 4x \cdot 2\cos\left(\frac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-x}{2}\right) = 0$
   $\Rightarrow 4\cos 4x \cos 2x \cos x = 0$

   সুতরাং,
   হয় $\cos x = 0 \Rightarrow x = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$
   $0 < x < \pi$ ব্যবধিতে $n = 0$ হলে, $x = \frac{\pi}{2}$

   অথবা $\cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = (2n + 1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow x = (2n + 1)\frac{\pi}{4}$
   $0 < x < \pi$ ব্যবধিতে:
   $n = 0$ হলে, $x = \frac{\pi}{4}$
   $n = 1$ হলে, $x = \frac{3\pi}{4}$

   অথবা $\cos 4x = 0 \Rightarrow 4x = (2n + 1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow x = (2n + 1)\frac{\pi}{8}$
   $0 < x < \pi$ ব্যবধিতে:
   $n = 0$ হলে, $x = \frac{\pi}{8}$
   $n = 1$ হলে, $x = \frac{3\pi}{8}$
   $n = 2$ হলে, $x = \frac{5\pi}{8}$
   $n = 3$ হলে, $x = \frac{7\pi}{8}$

   অতএব, $0 < x < \pi$ ব্যবধিতে নির্ণেয় সমাধান:
   $x = \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{8}$।