উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ:
   $9x^2 - 4y^2 = -36$
   উভয়পক্ষকে $-36$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{x^2}{-4} - \frac{y^2}{-9} = 1$
   $\implies \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{4} = 1$
   $\implies \frac{y^2}{3^2} - \frac{x^2}{2^2} = 1$

   এটি $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ আকারের একটি অধিবৃত্ত, যেখানে $a = 2$ এবং $b = 3$।

   অতএব, অধিবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
   $= \frac{2a^2}{b} = \frac{2 \times 2^2}{3} = \frac{8}{3}\text{ একক}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ থেকে পাই,
   $f(x) = x^2 - 8x + my + 7 = 0$
   $\implies x^2 - 8x + 16 = -my - 7 + 16$
   $\implies (x - 4)^2 = -my + 9$
   $\implies (x - 4)^2 = -m\left(y - \frac{9}{m}\right)$
   $\implies (x - 4)^2 = 4\left(-\frac{m}{4}\right)\left(y - \frac{9}{m}\right)$

   সমীকরণটিকে $(X)^2 = 4AY$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
   $X = x - 4, Y = y - \frac{9}{m}$ এবং $A = -\frac{m}{4}$

   পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(X=0, Y=A)$:
   $x - 4 = 0 \implies x = 4$
   $y - \frac{9}{m} = -\frac{m}{4} \implies y = \frac{9}{m} - \frac{m}{4}$

   অতএব, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $\left(4, \frac{9}{m} - \frac{m}{4}\right)$।

   প্রশ্নমতে, উপকেন্দ্রটি $(4, 6)$।
   $\therefore \frac{9}{m} - \frac{m}{4} = 6$
   $\implies \frac{36 - m^2}{4m} = 6$
   $\implies 36 - m^2 = 24m$
   $\implies m^2 + 24m - 36 = 0$
   $\implies m = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1}$
   $\implies m = \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 144}}{2} = \frac{-24 \pm \sqrt{720}}{2}$
   $\implies m = \frac{-24 \pm 12\sqrt{5}}{2} = -12 \pm 6\sqrt{5}$

   অতএব, $m$-এর নির্ণেয় মান $-12 \pm 6\sqrt{5}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ চিত্রে প্রদত্ত কণিকটি একটি উপবৃত্ত যার কেন্দ্র মূলবিন্দু $O(0,0)$ এবং উপকেন্দ্রদ্বয় $x$-অক্ষের উপর অবস্থিত।
   উপকেন্দ্রদ্বয় $S(2,0)$ এবং $S'(-2,0)$।

   যেহেতু উপকেন্দ্রদ্বয় $x$-অক্ষে অবস্থিত, তাই বৃহদাক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর।
   ধরি, উপবৃত্তটির সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b) \quad \text{--- (i)}$

   আমরা জানি, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $(\pm ae, 0)$।
   সুতরাং, $ae = 2$
   আবার, $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2 = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

   উপবৃত্তটি $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)$ বিন্দুগামী।
   সুতরাং (i) নং সমীকরণে বিন্দুটি বসিয়ে পাই,
   $\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{a^2} + \frac{\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^2}{b^2} = 1$
   $\implies \frac{9}{4a^2} + \frac{15}{4b^2} = 1$
   $b^2 = a^2 - 4$ বসিয়ে পাই,
   $\frac{9}{4a^2} + \frac{15}{4(a^2 - 4)} = 1$
   $\implies \frac{9(a^2 - 4) + 15a^2}{4a^2(a^2 - 4)} = 1$
   $\implies 9a^2 - 36 + 15a^2 = 4a^4 - 16a^2$
   $\implies 24a^2 - 36 = 4a^4 - 16a^2$
   $\implies 4a^4 - 40a^2 + 36 = 0$
   $\implies a^4 - 10a^2 + 9 = 0$
   $\implies (a^2 - 9)(a^2 - 1) = 0$
   $\therefore a^2 = 9 \quad \text{অথবা} \quad a^2 = 1$

   কিন্তু $b^2 = a^2 - 4 > 0$ হতে হবে, তাই $a^2 = 1$ গ্রহণযোগ্য নয় (কারণ তখন $b^2 = -3 < 0$ হয়)।
   সুতরাং, $a^2 = 9$।
   অতএব, $b^2 = 9 - 4 = 5$।

   সুতরাং উপবৃত্তের নির্ণেয় সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 \quad \text{বা,} \quad 5x^2 + 9y^2 = 45$