পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির সর্বনিম্ন মান, প্রথম চতুর্থক ($Q_1$), মধ্যমা ($Q_2$), তৃতীয় চতুর্থক ($Q_3$) এবং সর্বোচ্চ মান—এই পাঁচটি গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যাত্মক মানকে একত্রে 'পাঁচ সংখ্যা সার' (Five-number summary) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   না, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না।
   কারণ, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত হলো তথ্যের মানগুলো থেকে তাদের গাণিতিক গড়ের ব্যবধানের বর্গের গড়, অর্থাৎ $\mu_2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{N}$। যেহেতু যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সর্বদা অঋণাত্মক (শূণ্য বা ধনাত্মক) এবং এদের যোগফল ও পদসংখ্যা ধনাত্মক, তাই $\mu_2$ সর্বদা অঋণাত্মক (বাস্তব তথ্যের ক্ষেত্রে ধনাত্মক) হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত দৈনিক অসুস্থ শ্রমিকের সংখ্যা: $7, 8, 3, 4, 5, 3$
   এখানে, মোট পদসংখ্যা $n = 6$
   গাণিতিক গড়, $\bar{x} = \frac{7 + 8 + 3 + 4 + 5 + 3}{6} = \frac{30}{6} = 5$

   চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজনীয় গণনা:
   $x_i$: $7, 8, 3, 4, 5, 3$
   $(x_i - \bar{x})$: $2, 3, -2, -1, 0, -2$
   $(x_i - \bar{x})^4$:
   $2^4 = 16$
   $3^4 = 81$
   $(-2)^4 = 16$
   $(-1)^4 = 1$
   $0^4 = 0$
   $(-2)^4 = 16$

   সমষ্টি, $\sum(x_i - \bar{x})^4 = 16 + 81 + 16 + 1 + 0 + 16 = 130$

   অতএব, চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত:
   $\mu_4 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^4}{n} = \frac{130}{6} = \frac{65}{3} \approx 21.67$

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   গাণিতিক গড় $\bar{x} = 5$ এবং $x_i - \bar{x}$ এর মানগুলো হলো: $2, 3, -2, -1, 0, -2$

   দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত ($\mu_2$):
   $\sum(x_i - \bar{x})^2 = 2^2 + 3^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + (-2)^2 = 4 + 9 + 4 + 1 + 0 + 4 = 22$
   $\mu_2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \approx 3.67$

   তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত ($\mu_3$):
   $\sum(x_i - \bar{x})^3 = 2^3 + 3^3 + (-2)^3 + (-1)^3 + 0^3 + (-2)^3 = 8 + 27 - 8 - 1 + 0 - 8 = 18$
   $\mu_3 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^3}{n} = \frac{18}{6} = 3$

   বঙ্কিমতাঙ্ক নির্ণয়:
   $\beta_1 = \frac{\mu_3^2}{\mu_2^3} = \frac{3^2}{(11/3)^3} = \frac{9}{1331/27} = \frac{243}{1331} \approx 0.1826$
   অতএব, $\sqrt{\beta_1} = \frac{\mu_3}{\mu_2^{3/2}} = \frac{3}{(3.667)^{1.5}} = \sqrt{\frac{243}{1331}} \approx 0.427$

   মন্তব্য:
   যেহেতু বঙ্কিমতাঙ্ক $\sqrt{\beta_1} > 0$ (বা $\mu_3 > 0$), সেহেতু তথ্যবিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম (Positively skewed)। অর্থাৎ বিন্যাসের ডানদিকের লেজ বামদিকের তুলনায় দীর্ঘতর।