উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $P(x) = x^2 - 2x + 3$
   $Q(x) = 2x - 3$

   এখন,
   $Q(4) = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5$

   অতএব,
   $(P \circ Q)(4) = P(Q(4))$
   $= P(5)$
   $= 5^2 - 2(5) + 3$
   $= 25 - 10 + 3$
   $= 18$

   নির্ণেয় মান: ১৮।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = \frac{x+2}{5x-1}$, যেখানে $x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{5}\right\}$।

   এক-এক ফাংশন যাচাই:
   ধরি, $x_1, x_2 \in \text{Dom } g$।
   তাহলে, $g(x_1) = g(x_2)$
   $\implies \frac{x_1 + 2}{5x_1 - 1} = \frac{x_2 + 2}{5x_2 - 1}$
   $\implies (x_1 + 2)(5x_2 - 1) = (x_2 + 2)(5x_1 - 1)$
   $\implies 5x_1x_2 - x_1 + 10x_2 - 2 = 5x_1x_2 - x_2 + 10x_1 - 2$
   $\implies -x_1 + 10x_2 = -x_2 + 10x_1$
   $\implies 11x_2 = 11x_1$
   $\implies x_1 = x_2$
   অতএব, $g(x)$ একটি এক-এক ফাংশন।

   সার্বিক ফাংশন যাচাই:
   ধরি, $y = g(x) = \frac{x+2}{5x-1}$
   $\implies 5xy - y = x + 2$
   $\implies 5xy - x = y + 2$
   $\implies x(5y - 1) = y + 2$
   $\implies x = \frac{y + 2}{5y - 1}$
   এখানে, $y = \frac{1}{5}$ ছাড়া সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ বাস্তব।
   অতএব, $g$ ফাংশনের রেঞ্জ $= \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{5}\right\}$।
   যদি কো-ডোমেন $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{5}\right\}$ বিবেচনা করা হয়, তবে রেঞ্জ = কো-ডোমেন, সুতরাং ফাংশনটি সার্বিক (On-to)।

   বিপরীত ফাংশন $g^{-1}(x)$ নির্ণয়:
   যেহেতু $y = g(x)$, সুতরাং $x = g^{-1}(y)$।
   তাহলে, $g^{-1}(y) = \frac{y + 2}{5y - 1}$
   চলক পরিবর্তন করে পাই,
   $g^{-1}(x) = \frac{x + 2}{5x - 1}$ (যেখানে $x \neq \frac{1}{5}$)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ থেকে,
   $y = f(x) = \sqrt{-x^2 - 6x + 16}$
   বা, $y = \sqrt{-(x^2 + 6x - 16)}$
   বা, $y = \sqrt{-(x^2 + 6x + 9 - 25)}$
   বা, $y = \sqrt{25 - (x + 3)^2}$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $y^2 = 25 - (x + 3)^2$, যেখানে $y \ge 0$
   $\implies (x + 3)^2 + y^2 = 5^2$, যেখানে $y \ge 0$

   বক্ররেখাটির প্রকৃতি:
   এটি $(-3, 0)$ কেন্দ্র এবং $5$ একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে। কিন্তু যেহেতু $y = \sqrt{25 - (x+3)^2} \ge 0$, তাই সমীকরণটি $x$-অক্ষের উপরে (এবং $x$-অক্ষের উপরস্থিত) অবস্থিত একটি অর্ধবৃত্ত (semi-circle) নির্দেশ করে।
   বক্ররেখাটি $x$-অক্ষকে $(-8, 0)$ এবং $(2, 0)$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং এর সর্বোচ্চ বিন্দু হলো $(-3, 5)$।

   স্কেচ অঙ্কন:
   ১. কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় অক্ষদ্বয় $XOX'$ এবং $YOY'$ আঁকা হলো।
   ২. $(-3, 0)$ বিন্দুটিকে কেন্দ্র চিহ্নিত করা হলো।
   ৩. কেন্দ্র থেকে $x$-অক্ষ বরাবর বামে $(-8, 0)$ এবং ডানে $(2, 0)$ বিন্দু চিহ্নিত করা হলো।
   ৪. কেন্দ্রের ঠিক উপরে $(y$-অক্ষের সমান্তরালে $5$ একক উপরে) শীর্ষবিন্দু $(-3, 5)$ চিহ্নিত করা হলো।
   ৫. $(-8, 0)$ থেকে $(-3, 5)$ হয়ে $(2, 0)$ বিন্দু পর্যন্ত একটি মসৃণ অর্ধবৃত্তাকার রেখা এঁকে বক্ররেখাটির স্কেচ প্রদর্শন করা হলো।