গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$\frac{\sqrt{3}}{\sin 2x} - \frac{1}{\cos 2x} = 4$

বা, $\frac{\sqrt{3}\cos 2x - \sin 2x}{\sin 2x \cos 2x} = 4$
বা, $\sqrt{3}\cos 2x - \sin 2x = 4\sin 2x \cos 2x$
বা, $\sqrt{3}\cos 2x - \sin 2x = 2(2\sin 2x \cos 2x) = 2\sin 4x$

উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x = \sin 4x$
বা, $\sin\frac{\pi}{3}\cos 2x - \cos\frac{\pi}{3}\sin 2x = \sin 4x$
বা, $\sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \sin 4x$
বা, $\sin 4x - \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = 0$
বা, $2\cos\left(\frac{4x + \frac{\pi}{3} - 2x}{2}\right) \sin\left(\frac{4x - \frac{\pi}{3} + 2x}{2}\right) = 0$
বা, $2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = 0$

সুতরাং,
হয়, $\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0$
$\implies x + \frac{\pi}{6} = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$
$\implies x = n\pi + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}$
$\implies x = n\pi + \frac{\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

অথবা, $\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = 0$
$\implies 3x - \frac{\pi}{6} = m\pi$
$\implies 3x = m\pi + \frac{\pi}{6}$
$\implies x = \frac{m\pi}{3} + \frac{\pi}{18}, \quad m \in \mathbb{Z}$

যেখানে $\sin 2x \neq 0$ এবং $\cos 2x \neq 0$।

নির্ণেয় সমাধান: $x = n\pi + \frac{\pi}{3}$ অথবা $x = \frac{m\pi}{3} + \frac{\pi}{18}$; যেখানে $n, m \in \mathbb{Z}$।