উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $^{2n+1}P_{n+1} : {}^{2n}P_{n+2} = 5 : 2$
   বা, $\frac{\frac{(2n+1)!}{((2n+1)-(n+1))!}}{\frac{(2n)!}{(2n-(n+2))!}} = \frac{5}{2}$
   বা, $\frac{\frac{(2n+1)!}{n!}}{\frac{(2n)!}{(n-2)!}} = \frac{5}{2}$
   বা, $\frac{(2n+1)!}{n!} \times \frac{(n-2)!}{(2n)!} = \frac{5}{2}$
   বা, $\frac{(2n+1) \cdot (2n)!}{n(n-1) \cdot (n-2)!} \times \frac{(n-2)!}{(2n)!} = \frac{5}{2}$
   বা, $\frac{2n+1}{n(n-1)} = \frac{5}{2}$
   বা, $5n(n-1) = 2(2n+1)$
   বা, $5n^2 - 5n = 4n + 2$
   বা, $5n^2 - 9n - 2 = 0$
   বা, $5n^2 - 10n + n - 2 = 0$
   বা, $5n(n-2) + 1(n-2) = 0$
   বা, $(n-2)(5n+1) = 0$
   যেহেতু $n$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই $5n+1 \neq 0$ অর্থাৎ $n = -\frac{1}{5}$ গ্রহণযোগ্য নয়।
   $\therefore n = 2$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের দ্বিতীয় নামটি হলো 'EINSTEIN'।
   এখানে মোট বর্ণের সংখ্যা = ৮টি।
   যার মধ্যে E আছে ২টি, I আছে ২টি, N আছে ২টি, S আছে ১টি এবং T আছে ১টি।

   সবগুলি বর্ণকে মোট সাজানো যায় = $\frac{8!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{40320}{8} = 5040$ প্রকারে।

   'EINSTEIN' শব্দটিতে স্বরবর্ণ (vowels) রয়েছে ৪টি (E, I, E, I)।
   স্বরবর্ণ ৪টিকে একত্রে একটি বর্ণ বিবেচনা করলে মোট বর্ণ হয় (ব্যঞ্জনবর্ণ ৪টি + ১টি স্বরবর্ণ গুচ্ছ) = ৫টি।
   ব্যঞ্জনবর্ণগুলো হলো: N, S, T, N (এখানে N আছে ২টি)।
   এই ৫টি বর্ণকে সাজানো যায় = $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ প্রকারে।
   আবার, ৪টি স্বরবর্ণের (E, I, E, I) মধ্যে ২টি E ও ২টি I রয়েছে। এরা নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = $\frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{4} = 6$ প্রকারে।
   $\therefore$ স্বরবর্ণগুলিকে সর্বদা একত্রে রেখে সাজানো সংখ্যা = $60 \times 6 = 360$।

   সুতরাং, স্বরবর্ণগুলিকে একত্রে না রেখে সাজানো সংখ্যা = $5040 - 360 = 4680$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের প্রথম নামটি হলো 'NAMITA'।
   এখানে মোট ৬টি বর্ণ রয়েছে, যার মধ্যে A আছে ২টি, এবং N, M, I, T প্রতিটি ১টি করে (মোট ৫ ধরনের ভিন্ন বর্ণ: A, A, N, M, I, T)।
   প্রতিবারে ৪টি বর্ণ নিয়ে বাছাই করার ক্ষেত্রগুলো নিম্নরূপ:

   ১. ৪টি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন নিয়ে:
   ৫টি ভিন্ন বর্ণ (A, N, M, I, T) থেকে ৪টি বর্ণ বাছাই করা যায় = $^5C_4 = 5$ প্রকারে।

   ২. ২টি একই বর্ণ (A, A) এবং বাকি ২টি ভিন্ন বর্ণ নিয়ে:
   ২টি 'A' থেকে ২টি 'A' নেওয়া যায় $^1C_1 = 1$ প্রকারে।
   বাকি ৪টি ভিন্ন বর্ণ (N, M, I, T) থেকে ২টি বর্ণ বাছাই করা যায় = $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ প্রকারে।
   অতএব, এই ক্ষেত্রে বাছাই সংখ্যা = $1 \times 6 = 6$ প্রকারে।

   (উল্লেখ্য, ৩টি বা ৪টি একই বর্ণ নেওয়ার সুযোগ নেই, কারণ কোনো বর্ণ ৩ বা ৪ বার নেই।)

   সুতরাং, মোট বাছাই সংখ্যা = $5 + 6 = 11$ প্রকার।