গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = $(0, \pm 3)$
এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $3y = \pm 25 \implies y = \pm \frac{25}{3}$

যেহেতু উপকেন্দ্রদ্বয় $y$-অক্ষের ওপর অবস্থিত, তাই উপবৃত্তটির অক্ষদ্বয় যথাক্রমে স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল এবং বৃহৎ অক্ষ $y$-অক্ষ বরাবর।
উপবৃত্তটির সমীকরণ ধরি:
$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad (a > b)$

আমরা জানি,
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = $(0, \pm ae)$
$\therefore ae = 3$

এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $y = \pm \frac{a}{e}$
$\therefore \frac{a}{e} = \frac{25}{3}$

এখন,
$a^2 = (ae) \times \left(\frac{a}{e}\right) = 3 \times \frac{25}{3} = 25$
$\therefore a^2 = 25$

যেহেতু $ae = 3$, তাই $e = \frac{3}{a} = \frac{3}{5}$

আবার,
$b^2 = a^2(1 - e^2) = 25\left(1 - \frac{9}{25}\right) = 25 - 9 = 16$

অতএব, উপবৃত্তটির সমীকরণ:
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$
বা, $25x^2 + 16y^2 = 400$