উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুটি বেগ $u$ এবং $u$, যাদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$। এদের লব্ধি বেগ $R$ এবং প্রথম বেগের সাথে লব্ধির কোণ $\theta$ হলে,
   $\tan\theta = \frac{u\sin\alpha}{u + u\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \tan\frac{\alpha}{2}$
   $\therefore \theta = \frac{\alpha}{2}$
   অতএব, লব্ধি বেগ অন্তর্গত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $M$ বিন্দুতে কণাটির বেগ $v$।
   $O$ থেকে $M$ অংশে:
   $v = 0 + f_1 t_1 \implies t_1 = \frac{v}{f_1}$
   $OM = \frac{v^2 - 0}{2f_1} = \frac{v^2}{2f_1}$
   $M$ থেকে $A$ অংশে:
   $0 = v - f_2 t_2 \implies t_2 = \frac{v}{f_2}$
   $MA = \frac{0 - v^2}{-2f_2} = \frac{v^2}{2f_2}$
   মোট দূরত্ব $a = OM + MA = \frac{v^2}{2}\left(\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}\right) = \frac{v^2(f_1+f_2)}{2f_1f_2}$
   $\implies v = \sqrt{\frac{2a f_1 f_2}{f_1 + f_2}}$
   মোট সময় $T = t_1 + t_2 = v\left(\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}\right) = v\left(\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}\right)$
   $\therefore T = \sqrt{\frac{2a f_1 f_2}{f_1 + f_2}} \cdot \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2} = \sqrt{\frac{2a(f_1 + f_2)}{f_1 f_2}}$ (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রাসের গতিপথের সাধারণ সমীকরণ:
   $y = x \tan\alpha \left(1 - \frac{x}{R}\right)$
   এখানে, নিক্ষেপ কোণ $\alpha = 45^\circ$
   আনুভূমিক পাল্লা $R = p + q$
   দেয়ালটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(p, h)$।
   বিন্দুটি গতিপথের ওপর অবস্থিত হওয়ায়:
   $h = p \tan 45^\circ \left(1 - \frac{p}{p + q}\right)$
   $h = p \cdot 1 \cdot \left(\frac{p + q - p}{p + q}\right) = \frac{pq}{p + q}$
   সুতরাং, দেয়ালটির উচ্চতা $\frac{pq}{p+q}$। (দেখানো হলো)