উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, লব্ধির মান $R$।
   দেওয়া আছে, বল দুইটির মান $P = Q = S$ এবং মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 120^\circ$।
   আমরা জানি,
   $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \alpha$
   $\implies R^2 = S^2 + S^2 + 2 \cdot S \cdot S \cdot \cos 120^\circ$
   $\implies R^2 = 2S^2 + 2S^2 \left(-\frac{1}{2}\right)$
   $\implies R^2 = 2S^2 - S^2 = S^2$
   $\implies R = S$

   অতএব, লব্ধির মান $S$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, $O$ হলো $\triangle ABC$-এর পরিকেন্দ্র এবং $O$ বিন্দু হতে $OA, OB, OC$ বরাবর যথাক্রমে $X, Y, Z$ বলত্রয় ক্রিয়ারত থেকে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করেছে।

   আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
   $\therefore \angle BOC = 2\angle BAC = 2A$
   $\angle COA = 2\angle ABC = 2B$
   $\angle AOB = 2\angle ACB = 2C$

   যেহেতু $X, Y, Z$ বলত্রয় $O$ বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় রয়েছে, লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
   $\frac{X}{\sin(\angle BOC)} = \frac{Y}{\sin(\angle COA)} = \frac{Z}{\sin(\angle AOB)}$
   $\implies \frac{X}{\sin 2A} = \frac{Y}{\sin 2B} = \frac{Z}{\sin 2C}$
   $\implies \frac{X}{2\sin A \cos A} = \frac{Y}{2\sin B \cos B} = \frac{Z}{2\sin C \cos C}$
   $\implies \frac{X}{\sin A \cos A} = \frac{Y}{\sin B \cos B} = \frac{Z}{\sin C \cos C}$

   ত্রিভুজের সাইন সূত্র থেকে আমরা জানি, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R'$ (যেখানে $R'$ পরিব্যাসার্ধ),
   $\implies \sin A = \frac{a}{2R'}, \sin B = \frac{b}{2R'}, \sin C = \frac{c}{2R'}$

   অতএব,
   $\frac{X}{\frac{a}{2R'} \cos A} = \frac{Y}{\frac{b}{2R'} \cos B} = \frac{Z}{\frac{c}{2R'} \cos C}$
   হরগুলোকে $2R'$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $\frac{X}{a \cos A} = \frac{Y}{b \cos B} = \frac{Z}{c \cos C}$
   $\therefore X : Y : Z = a\cos A : b\cos B : c\cos C$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $X, Y, Z$ মানের তিনটি সদৃশ সমান্তরাল বল যথাক্রমে $A, B, C$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত এবং এদের লব্ধি ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র $O$ বিন্দুগামী।

   আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে ক্রিয়ারত সদৃশ সমান্তরাল বলগুলোর লব্ধি যদি ত্রিভুজের অভ্যন্তরে কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত থাকে, তবে বলগুলোর মান ওই বিন্দু শীর্ষের সাথে যুক্ত করে গঠিত বিপরীত ত্রিভুজগুলোর ক্ষেত্রফলের সমানুপাতিক হয়।
   অতএব,
   $\frac{X}{\triangle OBC} = \frac{Y}{\triangle OCA} = \frac{Z}{\triangle OAB}$

   এখানে $O$ হলো $\triangle ABC$-এর পরিকেন্দ্র এবং পরিব্যাসার্ধ $R$ হলে,
   $OA = OB = OC = R$
   $\triangle OBC$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} R^2 \sin 2A$
   $\triangle OCA$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OA \cdot \sin(\angle COA) = \frac{1}{2} R^2 \sin 2B$
   $\triangle OAB$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} R^2 \sin 2C$

   অতএব,
   $\frac{X}{\frac{1}{2} R^2 \sin 2A} = \frac{Y}{\frac{1}{2} R^2 \sin 2B} = \frac{Z}{\frac{1}{2} R^2 \sin 2C}$
   হরগুলোকে $\frac{1}{2} R^2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{X}{\sin 2A} = \frac{Y}{\sin 2B} = \frac{Z}{\sin 2C}$
   $\implies X \operatorname{cosec} 2A = Y \operatorname{cosec} 2B = Z \operatorname{cosec} 2C$ (দেখানো হলো)।