উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $P(A) = 0.7$
   $P(A \cap B) = 0.1$
   $P(A|B) = 0.5$

   আমরা জানি,
   $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
   বা, $0.5 = \frac{0.1}{P(B)}$
   বা, $P(B) = \frac{0.1}{0.5} = 0.2$

   এখন,
   $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
   $= 0.7 + 0.2 - 0.1 = 0.8$

   অতএব,
   $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$
   $= 1 - 0.8 = 0.2$

   উত্তর: $0.2$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী, একটি ছক্কা ও দুইটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো।

   ছক্কার ফলাফল: $D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
   দুইটি মুদ্রার ফলাফল: $C = \{HH, HT, TH, TT\}$

   নমুনা ক্ষেত্র ($S$) হলো:
   $S = D \times C$
   $= \{(1, HH), (1, HT), (1, TH), (1, TT),$
   $(2, HH), (2, HT), (2, TH), (2, TT),$
   $(3, HH), (3, HT), (3, TH), (3, TT),$
   $(4, HH), (4, HT), (4, TH), (4, TT),$
   $(5, HH), (5, HT), (5, TH), (5, TT),$
   $(6, HH), (6, HT), (6, TH), (6, TT)\}$

   এখানে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $n(S) = 6 \times 4 = 24$

   ধরি, ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসার ঘটনা $E$।
   অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো ছক্কার মান $2, 4, 6$ সংবলিত বিন্দুসমূহ:
   $E = \{(2, HH), (2, HT), (2, TH), (2, TT), (4, HH), (4, HT), (4, TH), (4, TT), (6, HH), (6, HT), (6, TH), (6, TT)\}$
   অনুকূল ফলাফল সংখ্যা, $n(E) = 12$

   অতএব, ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 0.5$

   উত্তর: $\frac{1}{2}$ বা $0.5$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়ের জন্য সারণি তৈরি করি:
   শ্রেণি ব্যবধান, $c = 26 - 21 = 5$
   ধরি, আনুমানিক গড় $a = 33$
   বিচ্যুতি, $u_i = \frac{x_i - a}{c} = \frac{x_i - 33}{5}$

   শ্রেণিব্যাপ্তি	মধ্যমান ($x_i$)	গণসংখ্যা ($f_i$)	$u_i$	$f_i u_i$	$f_i u_i^2$
   21—25	23	8	-2	-16	32
   26—30	28	11	-1	-11	11
   31—35	33	15	0	0	0
   36—40	38	13	1	13	13
   41—45	43	9	2	18	36
   46—50	48	7	3	21	63
   মোট		$N = 63$		$\sum f_i u_i = 25$	$\sum f_i u_i^2 = 155$

   পরিমিত ব্যবধান (Standard Deviation), $\sigma$:
   $\sigma = c \times \sqrt{\frac{\sum f_i u_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i u_i}{N}\right)^2}$
   $= 5 \times \sqrt{\frac{155}{63} - \left(\frac{25}{63}\right)^2}$
   $= 5 \times \sqrt{2.4603 - (0.3968)^2}$
   $= 5 \times \sqrt{2.4603 - 0.1575}$
   $= 5 \times \sqrt{2.3028}$
   $= 5 \times 1.5175$
   $\approx 7.59$

   উত্তর: নির্ণেয় পরিমিত ব্যবধান প্রায় $7.59$।