উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{3}=1$-এর ক্ষেত্রে $a^2=5,\ b^2=3$। তাই অসীমতট
   $\boxed{y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\sqrt{\frac35}\,x}$।
   সমতুল্যভাবে $\boxed{\sqrt3\,x\pm\sqrt5\,y=0}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বর্গ পূর্ণ করলে
   $4(x^2-4x)-9(y^2-6y)-101=0$
   $\Rightarrow4(x-2)^2-9(y-3)^2=36$।
   প্রমিত আকার
   $\boxed{\dfrac{(x-2)^2}{9}-\dfrac{(y-3)^2}{4}=1}$।

   কেন্দ্র $(2,3)$, $a=3,\ b=2$ এবং $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{13}$; তাই উপকেন্দ্রিকতা $e=c/a=\sqrt{13}/3$।
   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য
   $\boxed{2b^2/a=8/3}$ একক।
   নিয়ামক রেখা
   $\boxed{x=2\pm a/e=2\pm9/\sqrt{13}}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রপাঠের সীমা: ছোট চিত্রে শীর্ষ $A(1,3)$ দেখা যায়। নিয়ামকের ক্ষুদ্র লেখাটি $y=4$ বলে পড়া যাচ্ছে, কিন্তু আঁকা নিয়ামক রেখা উল্লম্ব এবং পরাবৃত্ত ডানদিকে খোলা। $y=4$ হলে নিয়ামক অনুভূমিক হওয়ার কথা। তাই এই তথ্যগুলো একসঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়; কোনো অক্ষর বা স্থানাঙ্ক নীরবে বদলানো হচ্ছে না।

   লেবেলটি সত্যিই $y=4$ হলে: শীর্ষ $(h,k)=(1,3)$ এবং উল্লম্ব অক্ষের পরাবৃত্তে নিয়ামক $y=k-p$।
   $3-p=4\Rightarrow p=-1$।
   সুতরাং
   $\boxed{(x-1)^2=4p(y-3)=-4(y-3)}$।
   এর উপকেন্দ্র $(1,2)$ এবং এটি নিচের দিকে খোলা—ডানমুখী স্কেচের সঙ্গে মেলে না।

   ডানমুখী স্কেচটি ঠিক হলে: নিয়ামককে $x=d$ হতে হবে, যেখানে $d<1$। তখন $p=1-d$ এবং
   $\boxed{(y-3)^2=4(1-d)(x-1)}$।
   কিন্তু $d$-এর নির্ভরযোগ্য মান নিশ্চিত না হওয়ায় এই শাখার একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাগত সমীকরণ দেওয়া যায় না। স্পষ্ট নিয়ামক-লেবেল পেলে সেটি সূত্রে বসাতে হবে। উপরের প্রথম সমীকরণ শুধু দৃশ্যমান $y=4$ পাঠের ঘোষিত শর্তে প্রযোজ্য।