গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$x = a(\theta + \sin\theta)$ এবং $y = a(1 - \cos\theta)$

উভয়কে $\theta$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos\theta) = 2a\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$

এবং,
$\frac{dy}{d\theta} = a(0 - (-\sin\theta)) = a\sin\theta = 2a\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$

আমরা জানি,
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{2a\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2a\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$

এখন, $x$-এর সাপেক্ষে পুনরায় অন্তরীকরণ করে,
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{d\theta}\left(\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) \cdot \frac{d\theta}{dx}$
$\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} = \sec^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2a\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}$
$\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{4a}\sec^4\left(\frac{\theta}{2}\right)$

উত্তর: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{4a}\sec^4\left(\frac{\theta}{2}\right)$