পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো গণসংখ্যা নিবেশনের প্রতিসাম্যতার অভাব বা অসমান বিন্যাসকে বঙ্কিমতা (Skewness) বলে। অর্থাৎ, নিবেশনের মানগুলো কেন্দ্রের উভয় পাশে সমভাবে বণ্টিত না হয়ে কোনো একদিকে বেশি ঝুঁকে থাকার বৈশিষ্ট্যই হলো বঙ্কিমতা।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো বিন্যাসের ক্ষেত্রে সূঁচালতাঙ্ক $\beta_2 = 3$ দ্বারা বোঝায় যে বিন্যাসটি পরিমিত সূঁচাল বা মধ্যম সূঁচাল (Mesokurtic)।
   পরিমিত নিবেশন বা স্বাভাবিক বিন্যাসের ক্ষেত্রে $\beta_2$-এর আদর্শ মান ৩ হয়ে থাকে। যদি $\beta_2 = 3$ হয়, তবে বিন্যাসটির শীর্ষদেশ খুব বেশি তীক্ষ্ণও নয় এবং খুব বেশি চ্যাপ্টাও নয়, বরং তা পরিমিত বা স্বাভাবিক প্রকৃতির হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, $A = 3$ হতে নির্ণীত প্রথম চারটি কাঁচা পরিঘাত হলো:
   $\mu_1' = -1$
   $\mu_2' = 20$
   $\mu_3' = 28$
   $\mu_4' = 90$

   আমরা জানি, কাঁচা পরিঘাত ও কেন্দ্রীয় পরিঘাতের মধ্যকার সম্পর্ক অনুযায়ী তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত ($\mu_3$):
   $\mu_3 = \mu_3' - 3\mu_2'\mu_1' + 2(\mu_1')^3$

   মান বসিয়ে পাই,
   $\mu_3 = 28 - 3(20)(-1) + 2(-1)^3$
   $= 28 - (-60) + 2(-1)$
   $= 28 + 60 - 2$
   $= 86$

   অতএব, নির্ণীত তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের মান ৮৬।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সূঁচালতাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য দ্বিতীয় ও চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত ($\mu_2$ ও $\mu_4$) প্রয়োজন।
   দেওয়া আছে, $\mu_1' = -1$, $\mu_2' = 20$, $\mu_3' = 28$, $\mu_4' = 90$

   দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত (ভেদাঙ্ক):
   $\mu_2 = \mu_2' - (\mu_1')^2 = 20 - (-1)^2 = 20 - 1 = 19$

   চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত:
   $\mu_4 = \mu_4' - 4\mu_3'\mu_1' + 6\mu_2'(\mu_1')^2 - 3(\mu_1')^4$
   $= 90 - 4(28)(-1) + 6(20)(-1)^2 - 3(-1)^4$
   $= 90 - (-112) + 6(20)(1) - 3(1)$
   $= 90 + 112 + 120 - 3$
   $= 319$

   এখন, সূঁচালতাঙ্ক:
   $\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} = \frac{319}{(19)^2} = \frac{319}{361} \approx 0.8836$

   মন্তব্য:
   যেহেতু $\beta_2 < 3$ (অথবা সূঁচালতা পরিমাপক $\gamma_2 = \beta_2 - 3 = 0.8836 - 3 = -2.1164 < 0$), তাই উদ্দীপকের বিন্যাসটি অনতিসূঁচাল বা চ্যাপ্টাশীর্ষ (Platykurtic)।