পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশকারী ভেক্টরকে অবস্থান ভেক্টর বলে। একে ব্যাসার্ধ ভেক্টরও (Radius vector) বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পানিভর্তি একটি বালতি উল্লম্ব তলে দ্রুত ঘুরালে সর্বোচ্চ বিন্দুতে পানির ওপর দুটি বল কাজ করে: পৃথিবীর অভিকর্ষ বল (যা নিচের দিকে কাজ করে) এবং বৃত্তাকার গতির দরুন সৃষ্ট কেন্দ্রবিমুখী প্রভাব। যদি বালতিটিকে একটি নির্দিষ্ট ন্যূনতম বেগে (ক্রান্তি বেগ বা critical velocity, v ≥ √(gr)) ঘুরানো হয়, তবে সর্বোচ্চ বিন্দুতে প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বলের মান পানির ওজনের সমান বা তার চেয়ে বেশি হয়। ফলে পানি বালতির তলার সাথে দৃঢ়ভাবে চেপে থাকে এবং অভিকর্ষের টানে নিচে পড়ে যায় না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   \vec{A} = 4x^3y^2\hat{i} - 4x^2y^3\hat{j} - 6xyz^3\hat{k}

   \vec{A} এর কার্ল,
   \vec{\nabla} \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ 4x^3y^2 & -4x^2y^3 & -6xyz^3 \end{vmatrix}

   = \hat{i}\left[ \frac{\partial}{\partial y}(-6xyz^3) - \frac{\partial}{\partial z}(-4x^2y^3) \right] - \hat{j}\left[ \frac{\partial}{\partial x}(-6xyz^3) - \frac{\partial}{\partial z}(4x^3y^2) \right] + \hat{k}\left[ \frac{\partial}{\partial x}(-4x^2y^3) - \frac{\partial}{\partial y}(4x^3y^2) \right]

   = \hat{i}\left[ -6xz^3 - 0 \right] - \hat{j}\left[ -6yz^3 - 0 \right] + \hat{k}\left[ -8xy^3 - 8x^3y \right]

   = -6xz^3\hat{i} + 6yz^3\hat{j} - (8xy^3 + 8x^3y)\hat{k}

   অতএব, নির্ণেয় কার্ল = -6xz^3\hat{i} + 6yz^3\hat{j} - 8xy(y^2 + x^2)\hat{k}।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে স্কেলার ক্ষেত্র \phi = 3xy^2z + 3xyz^2 + 3y^2z^3 এবং ভেক্টর ক্ষেত্র \vec{A} = 4x^3y^2\hat{i} - 4x^2y^3\hat{j} - 6xyz^3\hat{k} দেওয়া আছে।

   ১. স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তর (গ্র্যাডিয়েন্ট নির্ণয়):
   কোনো স্কেলার ক্ষেত্রের গ্র্যাডিয়েন্ট নিলে তা একটি ভেক্টর রাশিতে রূপান্তরিত হয়।
   \vec{\nabla}\phi = \hat{i}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \hat{j}\frac{\partial \phi}{\partial y} + \hat{k}\frac{\partial \phi}{\partial z}

   এখানে,
   \frac{\partial \phi}{\partial x} = 3y^2z + 3yz^2
   \frac{\partial \phi}{\partial y} = 6xyz + 3xz^2 + 6yz^3
   \frac{\partial \phi}{\partial z} = 3xy^2 + 6xyz + 9y^2z^2

   সুতরাং, \vec{\nabla}\phi = (3y^2z + 3yz^2)\hat{i} + (6xyz + 3xz^2 + 6yz^3)\hat{j} + (3xy^2 + 6xyz + 9y^2z^2)\hat{k}
   যা একটি ভেক্টর রাশি। অর্থাৎ, স্কেলার ক্ষেত্র \phi একটি ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তরিত হলো।

   ২. ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর (ডাইভারজেন্স নির্ণয়):
   কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স নির্ণয় করলে একটি স্কেলার রাশি পাওয়া যায়।
   \vec{\nabla}\cdot\vec{A} = \frac{\partial}{\partial x}(A_x) + \frac{\partial}{\partial y}(A_y) + \frac{\partial}{\partial z}(A_z)

   এখানে,
   \frac{\partial}{\partial x}(4x^3y^2) = 12x^2y^2
   \frac{\partial}{\partial y}(-4x^2y^3) = -12x^2y^2
   \frac{\partial}{\partial z}(-6xyz^3) = -18xyz^2

   অতএব,
   \vec{\nabla}\cdot\vec{A} = 12x^2y^2 - 12x^2y^2 - 18xyz^2 = -18xyz^2
   যা একটি স্কেলার রাশি। অর্থাৎ, ভেক্টর ক্ষেত্র \vec{A} একটি স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তরিত হলো।

   সুতরাং গাণিতিকভাবে প্রমাণিত হলো যে, একটি স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে এবং একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর করা সম্ভব।