উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$
   এখানে, $a^2 = 9$ এবং $b^2 = 16$।

   আমরা জানি, অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা:
   $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$
   $e = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$

   অতএব, নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা = $\frac{5}{3}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   (i) নং সমীকরণ:
   $x^2 + 6x + 3y = 0$
   $\implies x^2 + 6x + 9 = -3y + 9$
   $\implies (x+3)^2 = -3(y-3)$
   $\implies (x+3)^2 = 4 \left(-\frac{3}{4}\right) (y-3)$

   ধরি, $X = x+3$, $Y = y-3$ এবং $A = -\frac{3}{4}$। সমীকরণটি $X^2 = 4AY$ আকারের একটি পরাবৃত্ত।

   ১. শীর্ষবিন্দু:
   $X = 0 \implies x+3 = 0 \implies x = -3$
   $Y = 0 \implies y-3 = 0 \implies y = 3$
   অতএব, শীর্ষবিন্দু $(-3, 3)$।

   ২. উপকেন্দ্র:
   উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(X = 0, Y = A)$:
   $x+3 = 0 \implies x = -3$
   $y-3 = -\frac{3}{4} \implies y = 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$
   অতএব, উপকেন্দ্র $\left(-3, \frac{9}{4}\right)$।

   ৩. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
   $|4A| = \left|4 \times \left(-\frac{3}{4}\right)\right| = |-3| = 3$

   অতএব, শীর্ষবিন্দু $(-3, 3)$, উপকেন্দ্র $\left(-3, \frac{9}{4}\right)$ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $3$ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   উপকেন্দ্র $S = (-1, 1)$
   উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{1}{2}$
   এবং দিকাক্ষের সমীকরণ: $4x + 3y - 5 = 0$

   মনে করি, উপবৃত্তের উপরিস্থিত যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$।
   $S$ হতে $P$ বিন্দুর দূরত্ব:
   $SP = \sqrt{(x+1)^2 + (y-1)^2}$

   এবং দিকাক্ষের উপর $P$ বিন্দু হতে অঙ্কিত লম্বদূরত্ব:
   $PM = \frac{|4x + 3y - 5|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|4x + 3y - 5|}{5}$

   কণিকের সংজ্ঞানুসারে,
   $SP = e \cdot PM$
   $\implies SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
   $\implies (x+1)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{4x + 3y - 5}{5}\right)^2$
   $\implies (x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1) = \frac{1}{4} \cdot \frac{(4x + 3y - 5)^2}{25}$
   $\implies 100(x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2) = (4x + 3y - 5)^2$
   $\implies 100(x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2) = 16x^2 + 9y^2 + 25 + 24xy - 40x - 30y$
   $\implies 100x^2 + 100y^2 + 200x - 200y + 200 - 16x^2 - 9y^2 - 24xy + 40x + 30y - 25 = 0$
   $\implies 84x^2 - 24xy + 91y^2 + 240x - 170y + 175 = 0$

   এটিই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।