পরিসংখ্যান ১ম পত্র • Combined Board • সমন্বিত বোর্ড ২০২৬

পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

কোনো বিন্যাসের 6 হতে নির্ণীত প্রথম চারটি পরিঘাত যথাক্রমে -1, 22, -15 ও 88। পরিসংখ্যানের শিক্ষক বললেন যে, বিন্যাসটি অতি সূচালো।

  1. ক)

    বঙ্কিমতার সংজ্ঞা দাও।

    (1)
  2. খ)

    দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত কি ভেদাঙ্কের সমান? ব্যাখ্যা কর।

    (2)
  3. গ)

    উদ্দীপকের তথ্যের তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের মান নির্ণয় কর।

    (3)
  4. ঘ)

    উদ্দীপকের আলোকে শিক্ষকের বক্তব্য যাচাই কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    কোনো গণসংখ্যা নিবেশনের প্রতিসাম্যতার অভাব বা অসদৃশতাকে বঙ্কিমতা (Skewness) বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    হ্যাঁ, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত ভেদাঙ্কের সমান।
    ব্যাখ্যা: ভেদাঙ্কের সংজ্ঞায়িত রূপ হলো তথ্যসারির প্রতিটি মান থেকে তাদের গাণিতিক গড়ের ব্যবধানের বর্গের গড়, অর্থাৎ σ2=1N∑(xi−xˉ)2\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \bar{x})^2। আবার, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত হলো গাণিতিক গড় সাপেক্ষে নির্ণীত দ্বিতীয় ঘাতের পরিঘাত, অর্থাৎ μ2=1N∑(xi−xˉ)2\mu_2 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \bar{x})^2। উভয় সূত্রের গাণিতিক রূপ এবং অর্থ অভিন্ন হওয়ায় প্রমাণিত হয় যে, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত সর্বদা ভেদাঙ্কের সমান (μ2=σ2)(\mu_2 = \sigma^2)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, a = 6 এর সাপেক্ষে নির্ণীত প্রথম তিনটি অশোধিত পরিঘাত:
    μ1′=−1\mu'_1 = -1
    μ2′=22\mu'_2 = 22
    μ3′=−15\mu'_3 = -15

    আমরা জানি, অশোধিত পরিঘাত হতে তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত (μ3)(\mu_3) নির্ণয়ের সূত্র:
    μ3=μ3′−3μ2′μ1′+2(μ1′)3\mu_3 = \mu'_3 - 3\mu'_2\mu'_1 + 2(\mu'_1)^3

    মান বসিয়ে পাই,
    μ3=−15−3(22)(−1)+2(−1)3\mu_3 = -15 - 3(22)(-1) + 2(-1)^3
    = -15 + 66 - 2
    = 49

    অতএব, নির্ণেয় তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের মান 49।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বিন্যাসটি অতি সূঁচালো কিনা তা যাচাই করার জন্য সূঁচালতা গুণাঙ্ক (β2)(\beta_2) নির্ণয় করতে হবে।

    দেওয়া আছে,
    μ1′=−1,μ2′=22,μ3′=−15,μ4′=88\mu'_1 = -1, \mu'_2 = 22, \mu'_3 = -15, \mu'_4 = 88

    'গ' হতে পাই,
    μ2=μ2′−(μ1′)2=22−(−1)2=22−1=21\mu_2 = \mu'_2 - (\mu'_1)^2 = 22 - (-1)^2 = 22 - 1 = 21

    এখন, চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত (μ4)(\mu_4):
    μ4=μ4′−4μ3′μ1′+6μ2′(μ1′)2−3(μ1′)4\mu_4 = \mu'_4 - 4\mu'_3\mu'_1 + 6\mu'_2(\mu'_1)^2 - 3(\mu'_1)^4
    =88−4(−15)(−1)+6(22)(−1)2−3(−1)4= 88 - 4(-15)(-1) + 6(22)(-1)^2 - 3(-1)^4
    = 88 - 4(15) + 6(22)(1) - 3(1)
    = 88 - 60 + 132 - 3
    = 157

    সূঁচালতা পরিমাপক:
    β2=μ4μ22\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2}
    =157(21)2= \frac{157}{(21)^2}
    =157441= \frac{157}{441}
    ≈ 0.356

    মন্তব্য:
    সাধারণত একটি পরিমিত বিন্যাসের ক্ষেত্রে β2=3\beta_2 = 3 হয়।
    যদি β2>3\beta_2 > 3 হয়, তবে বিন্যাসটি অতি সূঁচালো (Leptokurtic) হয়।
    যদি β2<3\beta_2 < 3 হয়, তবে বিন্যাসটি অনতি বা চ্যাপ্টা সূঁচালো (Platykurtic) হয়।

    যেহেতু এখানে β2=0.356<3\beta_2 = 0.356 < 3, তাই বিন্যাসটি অতি সূঁচালো নয়, বরং চ্যাপ্টা বা অনতি সূঁচালো।
    অতএব, "বিন্যাসটি অতি সূঁচালো"—পরিসংখ্যানের শিক্ষকের এই বক্তব্যটি সঠিক নয়।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন