উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Combined Board • সমন্বিত বোর্ড ২০২৬

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

চিত্রে BC ব্যাসের উপর BDC একটি অর্ধবৃত্ত এবং CEBA একটি বৃত্তকলা।

  1. ক)

    দেখাও যে, (cot⁡θ+cosec⁡θ)2=tan⁡2θ2 (\cot\theta + \cosec\theta)^2 = \tan^2 \frac{\theta}{2}

    (2)
  2. খ)

    ∠CAB=90∘ \angle CAB = 90^\circ হলে, উদ্দীপকের চিত্র হতে দাগাঙ্কিত অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    −π2≤x≤π2 -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} ব্যবধিতে g(2π−2x) g(2\pi - 2x) এর লেখচিত্র অঙ্কন করে ২টি বৈশিষ্ট্য লেখ।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে মুদ্রিত সমীকরণে ডানপক্ষে tan^2(θ/2) এর স্থলে cot^2(θ/2) অথবা বামপক্ষে (cot θ + cosec θ)^2 এর স্থলে (cosec θ - cot θ)^2 ধরা হয়েছে। | খ অংশে চিত্র অনুযায়ী CEBA বৃত্তকলার কেন্দ্র A এবং ব্যাসার্ধ AC = AB = √2 একক।

    প্রশ্নে প্রদত্ত অভেদটি গাণিতিকভাবে ত্রুটিপূর্ণ। শুদ্ধ রূপটি হবে:
    (cot⁡θ+csc⁡θ)2=cot⁡2θ2(\cot\theta + \csc\theta)^2 = \cot^2\frac{\theta}{2} অথবা (csc⁡θ−cot⁡θ)2=tan⁡2θ2(\csc\theta - \cot\theta)^2 = \tan^2\frac{\theta}{2}।

    [সংশোধনী ১: (cot⁡θ+csc⁡θ)2=cot⁡2θ2(\cot\theta + \csc\theta)^2 = \cot^2\frac{\theta}{2} প্রমাণ]
    বামপক্ষ =(cot⁡θ+csc⁡θ)2= (\cot\theta + \csc\theta)^2
    =(cos⁡θsin⁡θ+1sin⁡θ)2= \left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta} + \frac{1}{\sin\theta}\right)^2
    =(1+cos⁡θ)2sin⁡2θ= \frac{(1 + \cos\theta)^2}{\sin^2\theta}
    =(1+cos⁡θ)21−cos⁡2θ= \frac{(1 + \cos\theta)^2}{1 - \cos^2\theta}
    =(1+cos⁡θ)2(1+cos⁡θ)(1−cos⁡θ)= \frac{(1 + \cos\theta)^2}{(1 + \cos\theta)(1 - \cos\theta)}
    =1+cos⁡θ1−cos⁡θ= \frac{1 + \cos\theta}{1 - \cos\theta}
    =2cos⁡2θ22sin⁡2θ2= \frac{2\cos^2\frac{\theta}{2}}{2\sin^2\frac{\theta}{2}}
    =cot⁡2θ2= \cot^2\frac{\theta}{2} (প্রমাণিত)

    [সংশোধনী ২: (csc⁡θ−cot⁡θ)2=tan⁡2θ2(\csc\theta - \cot\theta)^2 = \tan^2\frac{\theta}{2} প্রমাণ]
    বামপক্ষ =(csc⁡θ−cot⁡θ)2= (\csc\theta - \cot\theta)^2
    =(1−cos⁡θsin⁡θ)2=(1−cos⁡θ)21−cos⁡2θ=1−cos⁡θ1+cos⁡θ=2sin⁡2θ22cos⁡2θ2=tan⁡2θ2= \left(\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}\right)^2 = \frac{(1 - \cos\theta)^2}{1 - \cos^2\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{2\sin^2\frac{\theta}{2}}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} = \tan^2\frac{\theta}{2} (প্রমাণিত)

  2. খ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে মুদ্রিত সমীকরণে ডানপক্ষে tan^2(θ/2) এর স্থলে cot^2(θ/2) অথবা বামপক্ষে (cot θ + cosec θ)^2 এর স্থলে (cosec θ - cot θ)^2 ধরা হয়েছে। | খ অংশে চিত্র অনুযায়ী CEBA বৃত্তকলার কেন্দ্র A এবং ব্যাসার্ধ AC = AB = √2 একক।

    উদ্দীপকের চিত্রে, CEBACEBA হলো AA কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তকলা যার ব্যাসার্ধ r=AC=AB=2r = AC = AB = \sqrt{2} একক এবং ∠CAB=90∘=π2\angle CAB = 90^\circ = \frac{\pi}{2} রেডিয়ান।

    সমকোণী ত্রিভুজ △CAB\triangle CAB এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
    BC=AC2+AB2=(2)2+(2)2=2+2=2BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = 2 একক।

    BCBC ব্যাসের উপর অঙ্কিত অর্ধবৃত্ত BDCBDC এর ব্যাসার্ধ R=BC2=22=1R = \frac{BC}{2} = \frac{2}{2} = 1 একক।
    ∴\therefore অর্ধবৃত্ত BDCBDC এর ক্ষেত্রফল =12πR2=12π(1)2=π2= \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2} বর্গ একক।

    বৃত্তকলা CEBACEBA এর ক্ষেত্রফল =12r2θ=12(2)2×π2=π2= \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} (\sqrt{2})^2 \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} বর্গ একক।

    সমকোণী ত্রিভুজ △CAB\triangle CAB এর ক্ষেত্রফল =12×AC×AB=12×2×2=1= \frac{1}{2} \times AC \times AB = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 1 বর্গ একক।

    অতএব, বৃত্তাংশ CEBCEB এর ক্ষেত্রফল == (বৃত্তকলা CEBACEBA এর ক্ষেত্রফল) −- (△CAB\triangle CAB এর ক্ষেত্রফল)
    =(π2−1)= \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) বর্গ একক।

    সুতরাং, দাগাঙ্কিত (ছায়াবৃত) অংশের ক্ষেত্রফল
    == অর্ধবৃত্ত BDCBDC এর ক্ষেত্রফল −- বৃত্তাংশ CEBCEB এর ক্ষেত্রফল
    =π2−(π2−1)= \frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)
    =1= 1 বর্গ একক।

  3. গ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে মুদ্রিত সমীকরণে ডানপক্ষে tan^2(θ/2) এর স্থলে cot^2(θ/2) অথবা বামপক্ষে (cot θ + cosec θ)^2 এর স্থলে (cosec θ - cot θ)^2 ধরা হয়েছে। | খ অংশে চিত্র অনুযায়ী CEBA বৃত্তকলার কেন্দ্র A এবং ব্যাসার্ধ AC = AB = √2 একক।

    উদ্দীপক চিত্র অনুযায়ী, g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x
    ∴g(2π−2x)=cos⁡(2π−2x)=cos⁡(−2x)=cos⁡2x\therefore g(2\pi - 2x) = \cos(2\pi - 2x) = \cos(-2x) = \cos 2x

    ধরি, y=cos⁡2xy = \cos 2x, যেখানে ব্যবধি −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}।

    প্রদত্ত ব্যবধিতে xx-এর বিভিন্ন মানের জন্য yy-এর মান নির্ণয় করে নিচের সারণি তৈরি করি:

    xx−π2-\frac{\pi}{2} (−90∘-90^\circ)−3π8-\frac{3\pi}{8} (−67.5∘-67.5^\circ)−π4-\frac{\pi}{4} (−45∘-45^\circ)−π8-\frac{\pi}{8} (−22.5∘-22.5^\circ)00 (0∘0^\circ)π8\frac{\pi}{8} (22.5∘22.5^\circ)π4\frac{\pi}{4} (45∘45^\circ)3π8\frac{3\pi}{8} (67.5∘67.5^\circ)π2\frac{\pi}{2} (90∘90^\circ)
    2x2x−π-\pi−3π4-\frac{3\pi}{4}−π2-\frac{\pi}{2}−π4-\frac{\pi}{4}00π4\frac{\pi}{4}π2\frac{\pi}{2}3π4\frac{3\pi}{4}π\pi
    y=cos⁡2xy = \cos 2x−1-1−0.71-0.71000.710.71110.710.7100−0.71-0.71−1-1

    লেখচিত্র অঙ্কনের বিবরণ:
    ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের সুবিধাজনক বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে XX-অক্ষ বরাবর xx-এর মান এবং YY-অক্ষ বরাবর yy-এর মান স্থাপন করি। প্রাপ্ত বিন্দুসমূহকে মসৃণ বক্ররেখা দ্বারা যুক্ত করলে y=cos⁡2xy = \cos 2x এর লেখচিত্র পাওয়া যায়।

    লেখচিত্রের ২টি বৈশিষ্ট্য:
    ১. লেখচিত্রটি yy-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম, অর্থাৎ g(2π−2x)=cos⁡2xg(2\pi - 2x) = \cos 2x একটি যুগ্ম (even) ফাংশন।
    ২. ফাংশনটির বিস্তার (range) [−1,1][-1, 1]; অর্থাৎ এর সর্বোচ্চ মান 11 (যখন x=0x = 0) এবং সর্বনিম্ন মান −1-1 (যখন x=±π2x = \pm \frac{\pi}{2})।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন