উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

φ(x)=ax3+bx2+cx+dΨ(x)=x2−mx+ℓ \begin{array}{l}\varphi(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \ \Psi(x)=x^{2}-m x+\ell\end{array}

  1. ক)

    a a এর মান কত হলে (a−1)x2−(a+2)x+4=0 (a-1) x^{2}-(a+2) x+4=0 সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব ও সমান হবে?

    (1)
  2. খ)

    φ(x)=0 \varphi(x)=0 সমীকরণে a=2,b=−3,c=4 a=2, b=-3, c=4 এবং d=−1 d=-1 হলে এবং মূলগুলো α,β,γ \alpha, \beta, \gamma হলে Σα2β \Sigma \alpha^{2} \beta এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    φ(x)=0 \varphi(\mathrm{x})=0 সমীকরণে a=0, b=1,c=−l \mathrm{a}=0, \mathrm{~b}=1, \mathrm{c}=-l এবং d=m \mathrm{d}=\mathrm{m} হলে; φ(x)=0 \varphi(x)=0 এবং ψ(x)=0 \psi(x)=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য একটি ধ্রুবক রাশি হলে প্রমাণ কর যে, l+m+4=0 l+m+4=0 .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    (ক) প্রদত্ত সমীকরণ: (a−1)x2−(a+2)x+4=0(a-1)x^2 - (a+2)x + 4 = 0
    মূলগুলো বাস্তব ও সমান হওয়ার শর্তানুসারে, পৃথায়ক D=0D = 0 হবে।
    ∴[−(a+2)]2−4⋅(a−1)⋅4=0\therefore [-(a+2)]^2 - 4 \cdot (a-1) \cdot 4 = 0
    ⇒a2+4a+4−16a+16=0\Rightarrow a^2 + 4a + 4 - 16a + 16 = 0
    ⇒a2−12a+20=0\Rightarrow a^2 - 12a + 20 = 0
    ⇒a2−10a−2a+20=0\Rightarrow a^2 - 10a - 2a + 20 = 0
    ⇒(a−10)(a−2)=0\Rightarrow (a-10)(a-2) = 0
    ∴a=2,10\therefore a = 2, 10।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    (খ) φ(x)=0⇒2x3−3x2+4x−1=0\varphi(x) = 0 \Rightarrow 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = 0
    মূলগুলোর যোগফল, ∑α=α+β+γ=−−32=32\sum \alpha = \alpha+\beta+\gamma = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}
    দুটি করে মূলের গুণফলের যোগফল, ∑αβ=αβ+βγ+γα=42=2\sum \alpha\beta = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{4}{2} = 2
    মূল তিনটির গুণফল, αβγ=−−12=12\alpha\beta\gamma = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}

    আমরা জানি,
    ∑α2β=(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)−3αβγ\sum \alpha^2\beta = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma
    =(32)(2)−3(12)= \left(\frac{3}{2}\right)(2) - 3\left(\frac{1}{2}\right)
    =3−32=32= 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    (গ) প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই,
    φ(x)=0⇒x2−lx+m=0\varphi(x) = 0 \Rightarrow x^2 - lx + m = 0 ... (i)
    এবং Ψ(x)=0⇒x2−mx+l=0\Psi(x) = 0 \Rightarrow x^2 - mx + l = 0 ... (ii)

    ধরি, (i) সমীকরণের মূলদ্বয় α1,β1\alpha_1, \beta_1 এবং (ii) সমীকরণের মূলদ্বয় α2,β2\alpha_2, \beta_2।
    তাহলে, α1+β1=l,α1β1=m\alpha_1+\beta_1 = l, \alpha_1\beta_1 = m এবং α2+β2=m,α2β2=l\alpha_2+\beta_2 = m, \alpha_2\beta_2 = l।

    শর্তানুসারে, মূলদ্বয়ের পার্থক্য একটি ধ্রুবক রাশি:
    ∣α1−β1∣=∣α2−β2∣|\alpha_1 - \beta_1| = |\alpha_2 - \beta_2|
    ⇒(α1−β1)2=(α2−β2)2\Rightarrow (\alpha_1 - \beta_1)^2 = (\alpha_2 - \beta_2)^2
    ⇒(α1+β1)2−4α1β1=(α2+β2)2−4α2β2\Rightarrow (\alpha_1+\beta_1)^2 - 4\alpha_1\beta_1 = (\alpha_2+\beta_2)^2 - 4\alpha_2\beta_2
    ⇒l2−4m=m2−4l\Rightarrow l^2 - 4m = m^2 - 4l
    ⇒(l2−m2)+4(l−m)=0\Rightarrow (l^2 - m^2) + 4(l - m) = 0
    ⇒(l−m)(l+m+4)=0\Rightarrow (l - m)(l + m + 4) = 0
    যেহেতু সমীকরণ দুটি ভিন্ন, সেহেতু l≠ml \neq m, অর্থাৎ l−m≠0l - m \neq 0।
    ∴l+m+4=0\therefore l + m + 4 = 0 (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন