উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বলটির নিক্ষেপণ বেগ $u$ এবং নিক্ষেপণ কোণ $\alpha$।

   আমরা জানি,
   আনুভূমিক পাল্লা, $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{2u^2 \sin\alpha \cos\alpha}{g} = 100$ মিটার
   সর্বোচ্চ উচ্চতা, $H = \frac{u^2 \sin^2\alpha}{2g} = \frac{75}{4}$ মিটার

   এখন, $\frac{H}{R} = \frac{\frac{u^2 \sin^2\alpha}{2g}}{\frac{2u^2 \sin\alpha \cos\alpha}{g}} = \frac{\tan\alpha}{4}$
   বা, $\tan\alpha = \frac{4H}{R} = \frac{4 \times \frac{75}{4}}{100} = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
   $\therefore \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.87^\circ$

   অতএব, নিক্ষেপণ কোণ $\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ বা প্রায় $36.87^\circ$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,
   নিক্ষেপণ বেগ, $u = 20\text{ ms}^{-1}$
   নিক্ষেপণ কোণ, $\alpha = 30^\circ$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ ms}^{-2}$
   উচ্চতা, $h = 1\text{ m}$

   ধরি, $t$ সময়ে কণাটি $h = 1$ মিটার উচ্চতায় পৌঁছায়।
   আমরা জানি,
   $h = (u \sin\alpha)t - \frac{1}{2}gt^2$
   বা, $\frac{1}{2}gt^2 - (u \sin\alpha)t + h = 0$
   বা, $4.9t^2 - (20 \sin 30^\circ)t + 1 = 0$
   বা, $4.9t^2 - 10t + 1 = 0$

   দ্বিঘাত সমীকরণটির মূলদ্বয় $t_1$ ও $t_2$ হলে,
   $t_1 + t_2 = \frac{10}{4.9}$
   $t_1 t_2 = \frac{1}{4.9}$

   সময়ের পার্থক্য,
   $|t_2 - t_1| = \sqrt{(t_1 + t_2)^2 - 4t_1 t_2}$
   $= \sqrt{\left(\frac{10}{4.9}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{4.9}\right)}$
   $= \sqrt{\frac{100 - 19.6}{(4.9)^2}} = \frac{\sqrt{80.4}}{4.9} \approx \frac{8.9666}{4.9} \approx 1.83\text{ s}$

   অতএব, কণাটির ১ মিটার উচ্চতায় পৌঁছানোর সময়ের পার্থক্য প্রায় $1.83$ সেকেন্ড।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,
   বেলুনের আদিবেগ, $u = \sqrt{2gx}\text{ m/s}$
   এবং $A$ থেকে $C$ এর অনুভূমিক দূরত্ব, $AC = y$ মিটার।

   বেলুনটি $A$ বিন্দু থেকে খাড়া উপরের দিকে উঠে সর্বোচ্চ উচ্চতা $B$-তে পৌঁছায়।
   সর্বোচ্চ উচ্চতায় বেগ $v_B = 0$।
   আমরা জানি, $v_B^2 = u^2 - 2g(AB)$
   বা, $0 = 2gx - 2g(AB)$
   $\therefore AB = x$ মিটার।

   চিত্রানুযায়ী, $AB$ খাড়া উল্লম্ব এবং $AC$ অনুভূমিক হওয়ায় $\angle BAC = 90^\circ$।
   সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$ থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
   $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$ মিটার।

   ধরি, শব্দের বেগ $v$ মিটার/সেকেন্ড।
   $B$ বিন্দুতে বেলুনটি বিস্ফোরিত হলে,
   শব্দ $B$ থেকে $A$ বিন্দুতে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময়, $t_A = \frac{AB}{v} = \frac{x}{v}$ সেকেন্ড
   এবং $B$ থেকে $C$ বিন্দুতে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময়, $t_C = \frac{BC}{v} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{v}$ সেকেন্ড।

   যেহেতু $BC > AB$, তাই $t_C > t_A$।
   প্রশ্নমতে,
   $t_C - t_A = \frac{1}{n}$
   বা, $\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{v} - \frac{x}{v} = \frac{1}{n}$
   বা, $\frac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{v} = \frac{1}{n}$
   $\therefore v = n(\sqrt{x^2 + y^2} - x)$

   অতএব, শব্দের বেগ $= n(\sqrt{x^2 + y^2} - x)$ মিটার/সেকেন্ড। (প্রমাণিত)