নীচের যোগজ এর মান হবে:-∫0log⁡2exdx1+ex \int_{0}^{\log 2} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}dx}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}}

Question

Accepted Answer

খ. log⁡(32) \log{\left ( \frac{3}{2} \right )}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত যোগজটি হলো:
$$I = \int_{0}^{\log 2} \frac{e^x}{1+e^x} dx$$

এখানে $\log$ দ্বারা প্রাকৃতিক লগারিদম (base $e$) বোঝানো হয়েছে।
ধরি, $u = 1 + e^x$
তাহলে, $du = e^x dx$

সীমা পরিবর্তন করে পাই:
- যখন $x = 0$, তখন $u = 1 + e^0 = 1 + 1 = 2$
- যখন $x = \log 2$, তখন $u = 1 + e^{\log 2} = 1 + 2 = 3$

অতএব,
$$I = \int_{2}^{3} \frac{du}{u} = [\log u]_{2}^{3} = \log 3 - \log 2 = \log\left(\frac{3}{2}\right)$$

সুতরাং সঠিক উত্তর অপশন 2।

গণিত প্রশ্ন