উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Combined Board • সমন্বিত বোর্ড ২০২৬
উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১ : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 গণিতে ব্যবহৃত ১০টি অঙ্ক।
দৃশ্যকল্প-২ : f(x)=4x−72x−4 f(x) = \frac{4x - 7}{2x - 4}
- ক)(2)
'Director' শব্দটির ব্যঞ্জন বর্ণের ক্রম পরিবর্তন না করে কত রকমে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর।
- খ)(4)
দৃশ্যকল্প-১ এর অঙ্কগুলো দ্বারা পুনরাবৃত্তি না করে 1000 এর চেয়ে ছোট এবং 5 দ্বারা বিভাজ্য কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায় তা নির্ণয় কর।
- গ)(4)
দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লিখিত ফাংশনটির বিপরীতযোগ্যতা যাচাইপূর্বক f−1(x) f^{-1}(x) নির্ণয় কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
'DIRECTOR' শব্দটিতে মোট বর্ণ ৮টি।
এর মধ্যে স্বরবর্ণ (Vowels) ৩টি: I, E, O
এবং ব্যঞ্জনবর্ণ (Consonants) ৫টি: D, R, C, T, R (এখানে R রয়েছে ২টি)।শর্তানুসারে, ব্যঞ্জনবর্ণগুলোর পারস্পরিক ক্রম অপরিবর্তিত থাকবে।
অর্থাৎ মোট ৮টি অবস্থানের মধ্যে ব্যঞ্জনবর্ণগুলোর জন্য নির্দিষ্ট ক্রম বজায় রাখতে হবে, তবে স্বরবর্ণগুলো নিজেদের মধ্যে স্থান পরিবর্তন করতে পারে।৮টি অবস্থানের মধ্যে স্বরবর্ণ ৩টির জন্য স্থান নির্বাচন করা যায় = ⁸C₃ উপায়ে।
নির্বাচিত ৩টি স্থানে স্বরবর্ণ ৩টি নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = ৩! উপায়ে।
বাকি ৫টি স্থানে ব্যঞ্জনবর্ণগুলো তাদের নির্ধারিত ক্রম অনুসারে কেবল ১ ভাবেই বসতে পারে।অতএব, নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = ⁸C₃ × ৩! = (৮! / (৫! × ৩!)) × ৩! = ৮! / ৫! = (৮ × ৭ × ৬) = ৩৩৬।
- খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দৃশ্যকল্প-১ এর অঙ্কগুলো হলো: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (মোট ১০টি)।
১০০০ এর চেয়ে ছোট এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্য অর্থপূর্ণ ধনাত্মক সংখ্যাগুলো ১-অঙ্ক, ২-অঙ্ক অথবা ৩-অঙ্কবিশিষ্ট হতে পারে। কোনো সংখ্যা ৫ দ্বারা বিভাজ্য হলে তার একক স্থানীয় অঙ্ক অবশ্যই 0 অথবা 5 হতে হবে।১. ১-অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা:
একক স্থানীয় অঙ্ক ৫ হলে একটি সংখ্যা পাওয়া যায়, যা হলো ৫।
(সংখ্যা = ১টি)২. ২-অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা:
(i) একক স্থানীয় অঙ্ক 0 হলে:
দশক স্থানীয় অঙ্কে 1 থেকে 9 পর্যন্ত যেকোনো অঙ্ক বসতে পারে = ৯টি।
(ii) একক স্থানীয় অঙ্ক 5 হলে:
দশক স্থানীয় অঙ্কে 0 এবং 5 ব্যতীত বাকি ৮টি অঙ্কের যেকোনোটি বসতে পারে = ৮টি।
সুতরাং, ২-অঙ্কবিশিষ্ট মোট সংখ্যা = ৯ + ৮ = ১৭টি।৩. ৩-অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা:
(i) একক স্থানীয় অঙ্ক 0 হলে:
শতক ও দশক স্থানে অবশিষ্ট ৯টি অঙ্ক (1-9) থেকে যেকোনো ২টি অঙ্ক পুনরাবৃত্তি না করে বসানো যায় = ⁹P₂ = ৯ × ৮ = ৭২ উপায়ে।
(ii) একক স্থানীয় অঙ্ক 5 হলে:
শতক স্থানীয় অঙ্কে 0 বা 5 বসতে পারবে না, ফলে শতক স্থান পূরণের উপায় = ৮টি (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9)।
দশক স্থানীয় অঙ্কে 5 এবং শতকে ব্যবহৃত অঙ্ক বাদে বাকি ৮টি অঙ্কের (0 সহ) যেকোনোটি বসতে পারে = ৮টি।
সুতরাং সংখ্যা গঠন করা যায় = ৮ × ৮ = ৬৪টি।
অতএব, ৩-অঙ্কবিশিষ্ট মোট সংখ্যা = ৭২ + ৬৪ = ১৩৬টি।সুতরাং, ১০০০ এর চেয়ে ছোট ৫ দ্বারা বিভাজ্য মোট অর্থপূর্ণ সংখ্যা = ১ + ১৭ + ১৩৬ = ১৫৪টি।
(উল্লেখ্য, অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হিসেবে ০-কে বিবেচনা করলে মোট সংখ্যা হবে ১৫৫টি)। - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রদত্ত ফাংশন: f(x) = (4x - 7)/(2x - 4)
ফাংশনটির ডোমেন, Dom f = ℝ \ {2}১. এক-এক (One-to-one) যাচাই:
ধরি, x₁, x₂ ∈ Dom f যেন f(x₁) = f(x₂) হয়।
তাহলে,
(4x₁ - 7)/(2x₁ - 4) = (4x₂ - 7)/(2x₂ - 4)
⇒ (4x₁ - 7)(2x₂ - 4) = (4x₂ - 7)(2x₁ - 4)
⇒ 8x₁x₂ - 16x₁ - 14x₂ + 28 = 8x₁x₂ - 14x₁ - 16x₂ + 28
⇒ -16x₁ - 14x₂ = -14x₁ - 16x₂
⇒ -16x₁ + 14x₁ = -16x₂ + 14x₂
⇒ -2x₁ = -2x₂
⇒ x₁ = x₂
অতএব, ফাংশনটি এক-এক।২. সার্বিক (Onto) যাচাই:
ধরি, y = f(x)
⇒ y = (4x - 7)/(2x - 4)
⇒ y(2x - 4) = 4x - 7
⇒ 2xy - 4y = 4x - 7
⇒ 2xy - 4x = 4y - 7
⇒ x(2y - 4) = 4y - 7
⇒ x = (4y - 7)/(2y - 4)এখানে, 2y - 4 ≠ 0 অর্থাৎ y ≠ 2 এর জন্য x বাস্তব এবং x ∈ Dom f।
সুতরাং ফাংশনটির রেঞ্জ, Range f = ℝ \ {2}।
যদি কো-ডোমেন = ℝ \ {2} বিবেচনা করা হয়, তবে কো-ডোমেন = রেঞ্জ হওয়ায় ফাংশনটি সার্বিক (Onto)।যেহেতু f(x) এক-এক এবং সার্বিক, তাই ফাংশনটি বিপরীতযোগ্য (Invertible)।
৩. f⁻¹(x) নির্ণয়:
x = f⁻¹(y) = (4y - 7)/(2y - 4)
অতএব, f⁻¹(x) = (4x - 7)/(2x - 4)।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও