উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $4\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta = 3$
   $\Rightarrow 2\sqrt{3}(2\sin\theta\cos\theta) = 3$
   $\Rightarrow 2\sin2\theta = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
   $\Rightarrow \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
   $\Rightarrow \sin 2\theta = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$

   আমরা জানি, $\sin\theta = \sin\alpha$ হলে সাধারণ সমাধান $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$।

   অতএব,
   $2\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{3}$
   $\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{6}, \quad n \in \mathbb{Z}$

   উত্তর: $\theta = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{6}$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে, $p(x, y) = x + iy$।
   তাহলে,
   $p(x-5, y) = (x-5) + iy$
   $p(x+5, y) = (x+5) + iy$

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $|p(x-5, y)| + |p(x+5, y)| = 15$
   $\Rightarrow \sqrt{(x-5)^2 + y^2} + \sqrt{(x+5)^2 + y^2} = 15$
   $\Rightarrow \sqrt{(x-5)^2 + y^2} = 15 - \sqrt{(x+5)^2 + y^2}$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
   $(x-5)^2 + y^2 = 225 - 30\sqrt{(x+5)^2 + y^2} + (x+5)^2 + y^2$
   $\Rightarrow x^2 - 10x + 25 + y^2 = 225 - 30\sqrt{(x+5)^2 + y^2} + x^2 + 10x + 25 + y^2$
   $\Rightarrow -10x = 225 + 10x - 30\sqrt{(x+5)^2 + y^2}$
   $\Rightarrow 30\sqrt{(x+5)^2 + y^2} = 20x + 225$

   উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা ভাগ করে পাই:
   $6\sqrt{(x+5)^2 + y^2} = 4x + 45$

   পুনরায় বর্গ করে পাই:
   $36[(x+5)^2 + y^2] = (4x + 45)^2$
   $\Rightarrow 36(x^2 + 10x + 25 + y^2) = 16x^2 + 360x + 2025$
   $\Rightarrow 36x^2 + 360x + 900 + 36y^2 = 16x^2 + 360x + 2025$
   $\Rightarrow 20x^2 + 36y^2 = 2025 - 900$
   $\Rightarrow 20x^2 + 36y^2 = 1125$
   $\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1125}{20}} + \frac{y^2}{\frac{1125}{36}} = 1$
   $\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{225}{4}} + \frac{y^2}{\frac{125}{4}} = 1$

   এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
   অতএব, নির্ণেয় সঞ্চারপথ একটি উপবৃত্ত, যার সমীকরণ: $20x^2 + 36y^2 = 1125$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $f(x) = ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $k\alpha$ এবং $g(x) = px^2 + qx + r = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\beta$ ও $k\beta$ (যেহেতু মূলদ্বয়ের অনুপাত সমান, অনুপাত $= 1 : k$)।

   প্রথম সমীকরণের ক্ষেত্রে:
   $\alpha + k\alpha = -\frac{b}{a} \Rightarrow \alpha(1+k) = -\frac{b}{a}$
   $\alpha \cdot k\alpha = \frac{c}{a} \Rightarrow k\alpha^2 = \frac{c}{a}$

   অতএব,
   $\frac{\alpha^2(1+k)^2}{k\alpha^2} = \frac{\frac{b^2}{a^2}}{\frac{c}{a}}$
   $\Rightarrow \frac{(1+k)^2}{k} = \frac{b^2}{ac} \quad \dots (1)$

   অনুরূপভাবে দ্বিতীয় সমীকরণের ক্ষেত্রে:
   $\frac{(1+k)^2}{k} = \frac{q^2}{pr} \quad \dots (2)$

   (1) ও (2) থেকে পাই:
   $\frac{b^2}{ac} = \frac{q^2}{pr}$
   $\Rightarrow \frac{b^2}{q^2} = \frac{ac}{pr}$

   প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে পাই:
   $a = 3, c = 2$ এবং $p = 7, r = 3$
   $\frac{b^2}{q^2} = \frac{3 \times 2}{7 \times 3} = \frac{2}{7}$
   $\Rightarrow \frac{b}{q} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$
   $\Rightarrow b : q = \sqrt{2} : \sqrt{7}$
   (দেখানো হলো)