পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্দেশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   স্রোতের সাথে আড়াআড়িভাবে অর্থাৎ ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছাতে হলে নৌকাকে স্রোতের প্রতিকূলে স্থূলকোণে চালনা করতে হবে।
   ধরি, স্রোতের বেগ $u$, নৌকার বেগ $v$ এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$। নদী পার হওয়ার জন্য লব্ধি বেগকে স্রোতের বেগের সাথে লম্ব বা $90^\circ$ কোণে থাকতে হয়।
   আমরা জানি, $\tan 90^\circ = \frac{v\sin\alpha}{u + v\cos\alpha} \implies u + v\cos\alpha = 0 \implies \cos\alpha = -\frac{u}{v}$
   যেহেতু $\cos\alpha$ ঋণাত্মক, তাই $\alpha > 90^\circ$ হতে হবে। অর্থাৎ আড়াআড়ি নদী পার হতে হলে নৌকাটিকে স্রোতের দিকের সাথে স্থূলকোণে চালাতে হবে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, কণাটির আদি বিন্দু $P(-6, 7, -1)$ এবং শেষ বিন্দু $Q(-3, -8, 4)$।
   বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে:
   $\vec{r}_P = -6\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}$
   $\vec{r}_Q = -3\hat{i} - 8\hat{j} + 4\hat{k}$

   অতএব, কণাটির সরণ ভেক্টর:
   $\vec{s} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P$
   $\vec{s} = (-3 - (-6))\hat{i} + (-8 - 7)\hat{j} + (4 - (-1))\hat{k}$
   $\vec{s} = 3\hat{i} - 15\hat{j} + 5\hat{k}\text{ m}$

   সরণের মান:
   $|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + (-15)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 225 + 25} = \sqrt{259} \approx 16.093\text{ m}$

   সুতরাং, কণাটির সরণ ভেক্টর $(3\hat{i} - 15\hat{j} + 5\hat{k})\text{ m}$ এবং এর মান প্রায় $16.09\text{ m}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, বৃত্তাকার পথে ঘূর্ণনশীল কোনো কণার ওপর কেন্দ্রমুখী বল সর্বদা গতির অভিমুখ বা তাৎক্ষণিক সরণের সাথে লম্বভাবে ($90^\circ$ কোণে) ক্রিয়া করে। ফলে কেন্দ্রমুখী বল দ্বারা কৃতকাজ সর্বদা শূন্য হয়, অর্থাৎ $\vec{F} \cdot \vec{s} = 0$ হতে হয়।

   উদ্দীপক অনুসারে:
   প্রযুক্ত বল, $\vec{F} = -5\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}\text{ N}$
   'গ' হতে পাই, সরণ $\vec{s} = 3\hat{i} - 15\hat{j} + 5\hat{k}\text{ m}$

   এখন, বল ও সরণের ডট গুণন (বা কৃতকাজ):
   $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = (-5)(3) + (-3)(-15) + (-6)(5)$
   $W = -15 + 45 - 30 = 0\text{ J}$

   যেহেতু $\vec{F} \cdot \vec{s} = 0$, তাই বল $\vec{F}$ সরণ $\vec{s}$-এর ওপর লম্ব। কেন্দ্রমুখী বল গতিপথের সরণের সাথে সমকোণে ক্রিয়া করে কাজ শূন্য করে। এছাড়া নির্দিষ্ট বিন্দুর চারদিকে গতির ক্ষেত্রে কেন্দ্রমুখী বল সর্বদা কেন্দ্রের অভিমুখে থাকে এবং তা সরণের সাথে লম্ব থাকে, যা এই শর্ত পূরণ করে।
   অতএব, গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী প্রযুক্ত বলটি কেন্দ্রমুখী বল হওয়ার শর্ত পূরণ করে বা বলটি কেন্দ্রমুখী বল হতে পারে।