উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $M = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 15 & -4 \end{bmatrix}$

   এখন,
   $M^2 = M \cdot M$
   $= \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 15 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 15 & -4 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 4 \cdot 4 + (-1) \cdot 15 & 4 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-4) \\ 15 \cdot 4 + (-4) \cdot 15 & 15 \cdot (-1) + (-4) \cdot (-4) \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 16 - 15 & -4 + 4 \\ 60 - 60 & -15 + 16 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

   যেহেতু $M^2 = I$, সুতরাং প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি অভেদঘাতী (Involutory) ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স,
   $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

   নির্ণায়ক,
   $|A| = 1(0 - 3) - 1(-1 - 0) + 2(-1 - 0)$
   $= -3 - 1(-1) + 2(-1)$
   $= -3 + 1 - 2 = -4 \neq 0$
   যেহেতু $|A| \neq 0$, তাই $A^{-1}$ বিদ্যমান।

   $A$ এর ভুক্তিগুলোর সহগুণকসমূহ:
   $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 3 = -3$
   $A_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$
   $A_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 0 = -1$

   $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 2) = 1$
   $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
   $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 0) = -1$

   $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 0 = 3$
   $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - (-2)) = -5$
   $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-1) = 1$

   অতএব,
   $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & -5 & 1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -5 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

   সুতরাং,
   $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = -\frac{1}{4} \begin{bmatrix} -3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -5 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{3}{4} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \end{bmatrix}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $|Q| = 0$
   $\Rightarrow \begin{vmatrix} l & l^2 & 1 + l^3 \\ m & m^2 & 1 + m^3 \\ n & n^2 & 1 + n^3 \end{vmatrix} = 0$

   নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী,
   $\Rightarrow \begin{vmatrix} l & l^2 & 1 \\ m & m^2 & 1 \\ n & n^2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} l & l^2 & l^3 \\ m & m^2 & m^3 \\ n & n^2 & n^3 \end{vmatrix} = 0$

   প্রথম নির্ণায়কের কলামসমূহ পরপর দুইবার বিনিময় করে পাই:
   $\begin{vmatrix} l & l^2 & 1 \\ m & m^2 & 1 \\ n & n^2 & 1 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1 & l^2 & l \\ 1 & m^2 & m \\ 1 & n^2 & n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & l & l^2 \\ 1 & m & m^2 \\ 1 & n & n^2 \end{vmatrix}$

   এবং দ্বিতীয় নির্ণায়ক থেকে যথাক্রমে ১ম, ২য় ও ৩য় সারি হতে $l, m, n$ সাধারণ নিয়ে পাই:
   $\begin{vmatrix} l & l^2 & l^3 \\ m & m^2 & m^3 \\ n & n^2 & n^3 \end{vmatrix} = lmn \begin{vmatrix} 1 & l & l^2 \\ 1 & m & m^2 \\ 1 & n & n^2 \end{vmatrix}$

   অতএব,
   $\begin{vmatrix} 1 & l & l^2 \\ 1 & m & m^2 \\ 1 & n & n^2 \end{vmatrix} + lmn \begin{vmatrix} 1 & l & l^2 \\ 1 & m & m^2 \\ 1 & n & n^2 \end{vmatrix} = 0$
   $\Rightarrow (1 + lmn) \begin{vmatrix} 1 & l & l^2 \\ 1 & m & m^2 \\ 1 & n & n^2 \end{vmatrix} = 0$

   এখন, নির্ণায়কটি বিস্তার করে পাই:
   $R_1' = R_1 - R_2$ এবং $R_2' = R_2 - R_3$ প্রয়োগ করে,
   $\begin{vmatrix} 0 & l - m & l^2 - m^2 \\ 0 & m - n & m^2 - n^2 \\ 1 & n & n^2 \end{vmatrix} = (l - m)(m - n) \begin{vmatrix} 0 & 1 & l + m \\ 0 & 1 & m + n \\ 1 & n & n^2 \end{vmatrix}$
   $= (l - m)(m - n)[(m + n) - (l + m)] = (l - m)(m - n)(n - l)$

   সুতরাং,
   $(1 + lmn)(l - m)(m - n)(n - l) = 0$

   যেহেতু $l, m, n$ পরস্পর অসমান, তাই:
   $l - m \neq 0$, $m - n \neq 0$, $n - l \neq 0$
   অতএব, $(l - m)(m - n)(n - l) \neq 0$

   সুতরাং, $1 + lmn = 0$ বা $lmn + 1 = 0$। (দেখানো হলো)