উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   (ক) প্রদত্ত সমীকরণ: $\frac{x^2}{p} + \frac{y^2}{25} = 1$
   বিন্দু $(6, 4)$ দ্বারা সিদ্ধ করে:
   $\frac{36}{p} + \frac{16}{25} = 1 \Rightarrow \frac{36}{p} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \Rightarrow p = 100$
   অতএব, $a^2 = 100 \Rightarrow a = 10$ এবং $b^2 = 25 \Rightarrow b = 5$।
   যেহেতু $a > b$, তাই বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য $= 2a = 2 \times 10 = 20$ একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   (খ) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $(1, 2)$ হওয়ায় সমীকরণটি হবে:
   $(y - 2)^2 = 4A(x - 1)$
   এটি $(3, -2)$ বিন্দুগামী হওয়ায়:
   $(-2 - 2)^2 = 4A(3 - 1) \Rightarrow 16 = 8A \Rightarrow A = 2$
   সুতরাং পরাবৃত্তটির সমীকরণ: $(y - 2)^2 = 8(x - 1)$
   $\Rightarrow y^2 - 4y + 4 = 8x - 8$
   $\Rightarrow 8x = y^2 - 4y + 12$
   $\Rightarrow x = \frac{1}{8}y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{3}{2}$
   প্রদত্ত সমীকরণ $x = ay^2 + by + c$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
   $a = \frac{1}{8}, b = -\frac{1}{2}, c = \frac{3}{2}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   (গ) উপকেন্দ্রদ্বয় $S(-6, 0)$ ও $S'(6, 0)$ এর মধ্যবিন্দু হলো কেন্দ্র $(0, 0)$।
   সুতরাং সমীকরণটি: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
   উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $2ae = 12 \Rightarrow ae = 6$
   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $\frac{2b^2}{a} = 10 \Rightarrow b^2 = 5a$
   আমরা জানি, $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2$
   $\Rightarrow 5a = 36 - a^2 \Rightarrow a^2 + 5a - 36 = 0 \Rightarrow (a + 9)(a - 4) = 0$
   যেহেতু $a > 0$, তাই $a = 4$।
   $\therefore a^2 = 16$ এবং $b^2 = 5 \times 4 = 20$
   অতএব অধিবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1$।