গণিত প্রশ্ন

AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

স্পষ্ট অনুমান: ধারাটির ৩য় পদের হর '3.9' মূলত মুদ্রণজনিত ত্রুটি এবং এটি '3.6.9' হবে।

ধারাটি হলো:\n$S = \frac{1}{3} + \frac{1\cdot 3}{3\cdot 6} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 6\cdot 9} + \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 6\cdot 9\cdot 12} + \dots \infty$\n\nউভয়পক্ষে 1 যোগ করে:\n$1 + S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1\cdot 3}{2! \cdot 3^2} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{3! \cdot 3^3} + \dots$\n\n$(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!} x^2 + \dots$ এর সাথে তুলনা করে:\n$nx = \frac{1}{3}$\n$\frac{n(n+1)}{2} x^2 = \frac{1}{6}$\n\nভাগ করে:\n$\frac{n+1}{2} x = \frac{1}{2} \implies (n+1)x = 1 \implies nx + x = 1$\n$\implies \frac{1}{3} + x = 1 \implies x = \frac{2}{3}$\n$\implies n = \frac{1}{2}$\n\nসুতরাং,\n$1 + S = \left(1 - \frac{2}{3}\right)^{-1/2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1/2} = \sqrt{3}$\n\n$\therefore S = \sqrt{3} - 1$