21!+2+42!+2+4+63!+…∞\frac{2}{1!} + \frac{2+4}{2!} + \frac{2+4+6}{3!} + \dots \infty ধারাটির যোগফল কোনটি?

Question

Accepted Answer

ক. 3e

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত ধারাটির $n$-তম পদ $T_n = \frac{2 + 4 + 6 + \dots + 2n}{n!} = \frac{2(1 + 2 + \dots + n)}{n!} = \frac{n(n+1)}{n!} = \frac{n+1}{(n-1)!} = \frac{(n-1) + 2}{(n-1)!} = \frac{1}{(n-2)!} + \frac{2}{(n-1)!}$ (যেখানে $n \ge 1$ এবং ঋণাত্মক সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়ালের বিপরীত পদ শূন্য)। সুতরাং ধারাটির সমষ্টি $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e + 2e = 3e$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন