গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

বৃত্তটির সমীকরণ:
$x^2 + y^2 + px + qy + 2 = 0$ ...(i)

(i) নং বৃত্তটি $(0, -2)$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে,
$\therefore 0^2 + (-2)^2 + p(0) + q(-2) + 2 = 0$
$\implies 4 - 2q + 2 = 0$
$\implies 2q = 6$
$\implies q = 3$

আবার, (i) নং বৃত্তটি $(-2, 0)$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে,
$\therefore (-2)^2 + 0^2 + p(-2) + q(0) + 2 = 0$
$\implies 4 - 2p + 2 = 0$
$\implies 2p = 6$
$\implies p = 3$

(i) নং বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = $\left(-\frac{p}{2}, -\frac{q}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)$

যেহেতু কেন্দ্রটি $ax - y = 3$ সরলরেখার উপর অবস্থিত,
$\therefore a\left(-\frac{3}{2}\right) - \left(-\frac{3}{2}\right) = 3$
$\implies -\frac{3}{2}a + \frac{3}{2} = 3$
$\implies -\frac{3}{2}a = 3 - \frac{3}{2}$
$\implies -\frac{3}{2}a = \frac{3}{2}$
$\implies a = -1$

অতএব, নির্ণেয় মান:
$a = -1$, $p = 3$, $q = 3$।