গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$(\cos x)^y = (\sin y)^x$

উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম ($\ln$) নিয়ে পাই,
$\ln [(\cos x)^y] = \ln [(\sin y)^x]$
$\implies y \ln(\cos x) = x \ln(\sin y)$

এখন, $x$-এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{d}{dx} [y \ln(\cos x)] = \frac{d}{dx} [x \ln(\sin y)]$
$\implies \frac{dy}{dx} \ln(\cos x) + y \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = 1 \cdot \ln(\sin y) + x \cdot \frac{1}{\sin y} \cdot \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$
$\implies \frac{dy}{dx} \ln(\cos x) - y \tan x = \ln(\sin y) + x \cot y \frac{dy}{dx}$
$\implies \frac{dy}{dx} [\ln(\cos x) - x \cot y] = \ln(\sin y) + y \tan x$
$\implies \frac{dy}{dx} = \frac{\ln(\sin y) + y \tan x}{\ln(\cos x) - x \cot y}$