গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

(a) ধরি, $I = \int \frac{dx}{a \cos x - b \sin x}$
ধরি, $a = r \cos \alpha$ এবং $b = r \sin \alpha$
তাহলে, $r = \sqrt{a^2+b^2}$ এবং $\tan \alpha = \frac{b}{a} \implies \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$
সুতরাং,
$a \cos x - b \sin x = r \cos \alpha \cos x - r \sin \alpha \sin x = r \cos(x + \alpha)$
অতএব,
$I = \int \frac{dx}{r \cos(x + \alpha)} = \frac{1}{r} \int \sec(x + \alpha) \, dx$
$= \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \ln |\sec(x + \alpha) + \tan(x + \alpha)| + c$
যেখানে $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ এবং $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক।
[বিকল্প রূপ: $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \ln \left| \tan\left(\frac{x + \alpha}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \right| + c$]

(b) ধরি, $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \, dx}{(1+\sin x)(2+\sin x)}$
ধরি, $u = \sin x \implies du = \cos x \, dx$
সীমা পরিবর্তন:
যখন $x = 0$, তখন $u = \sin 0 = 0$
যখন $x = \frac{\pi}{2}$, তখন $u = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$
অতএব,
$I = \int_0^1 \frac{du}{(1+u)(2+u)}$
আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করে পাই:
$\frac{1}{(1+u)(2+u)} = \frac{1}{1+u} - \frac{1}{2+u}$
সুতরাং,
$I = \int_0^1 \left( \frac{1}{1+u} - \frac{1}{2+u} \right) du$
$= \left[ \ln|1+u| - \ln|2+u| \right]_0^1 = \left[ \ln\left|\frac{1+u}{2+u}\right| \right]_0^1$
$= \ln\left(\frac{1+1}{2+1}\right) - \ln\left(\frac{1+0}{2+0}\right)$
$= \ln\left(\frac{2}{3}\right) - \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left(\frac{2/3}{1/2}\right) = \ln\left(\frac{4}{3}\right)$
উত্তর: $\ln\left(\frac{4}{3}\right)$