If in a triangle, (1−r1r2)(1−r1r3)=2 \left ( 1 - \frac{r_{1}}{r_{2}} \right ) \left ( 1 - \frac{r_{1}}{r_{3}} \right ) = 2 denote the radit of the escribed circles opposite to the angles A, B and C respectively), then the triangle is-

Question

If in a triangle, (1−r1r2)(1−r1r3)=2 \left ( 1 - \frac{r_{1}}{r_{2}} \right ) \left ( 1 - \frac{r_{1}}{r_{3}} \right ) = 2  denote the radit of the escribed circles opposite to the angles A, B and C respectively), then the triangle is-

Accepted Answer

ক. right angled

ব্যাখ্যা: বহিঃবৃত্তের ব্যাসার্ধের সূত্রাবলী থেকে আমরা জানি:
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$, $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$, $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$

অতএব,
$1 - \frac{r_1}{r_2} = 1 - \frac{s-b}{s-a} = \frac{b-a}{s-a}$
$1 - \frac{r_1}{r_3} = 1 - \frac{s-c}{s-a} = \frac{c-a}{s-a}$

প্রদত্ত সমীকরণ:
$\left(1 - \frac{r_1}{r_2}\right)\left(1 - \frac{r_1}{r_3}\right) = 2$
$\implies \frac{(b-a)(c-a)}{(s-a)^2} = 2$
$\implies (b-a)(c-a) = 2(s-a)^2$

আমরা জানি, $2(s-a) = b+c-a$, সুতরাং:
$2(s-a)^2 = 2 \left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2 = \frac{(b+c-a)^2}{2}$
$\implies 2(bc - ab - ac + a^2) = (b+c-a)^2$
$\implies 2bc - 2ab - 2ac + 2a^2 = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
উভয়পাশ থেকে সদৃশ পদগুলো বাদ দিলে থাকে:
$2a^2 = b^2 + c^2 + a^2 \implies a^2 = b^2 + c^2$

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী ত্রিভুজটির কোণ $A = 90^\circ$। অতএব, ত্রিভুজটি সমকোণী (right angled)।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন