উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: x2+ax+14(a2−b2)=0x^2 + ax + \frac{1}{4}(a^2 - b^2) = 0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। দৃশ্যকল্প-২: mx2+2x+1=0mx^2+2x+1 = 0 এবং x2+2x+m=0x^2+2x+m=0 সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূল α\alpha.

  1. ক)

    x3−6x2+21x−26=0x^3- 6x^2 + 21x - 26 = 0 সমীকরণটির একটি মূল 2+3i2+ 3i হলে অপর মূল দুটি নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর মূল দুটি α\alpha ও β\beta হলে, প্রমাণ কর যে, x2+(a±b)x±ab=0x^2+(a \pm b)x \pm ab = 0 সমীকরণের মূল দুটি α+β\alpha+\beta ও α−β\alpha-\beta হবে।

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, mm এর মান 1 অথবা -3।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে ত্রিঘাত সমীকরণটি হলো:
    x3−6x2+21x−26=0x^3 - 6x^2 + 21x - 26 = 0
    যেহেতু সমীকরণটির সহগগুলো বাস্তব সংখ্যা, তাই এর জটিল মূলগুলো যুগল হিসেবে থাকে।
    যেহেতু একটি মূল 2+3i2 + 3i, সুতরাং দ্বিতীয় মূলটি হবে এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা, অর্থাৎ 2−3i2 - 3i।

    ধরি, তৃতীয় মূলটি γ\gamma।
    মূল ও সহগের সম্পর্ক অনুযায়ী, মূলত্রয়ের যোগফল:
    (2+3i)+(2−3i)+γ=−−61=6(2 + 3i) + (2 - 3i) + \gamma = -\frac{-6}{1} = 6
    ⇒4+γ=6\Rightarrow 4 + \gamma = 6
    ⇒γ=2\Rightarrow \gamma = 2

    অতএব, অপর মূল দুটি হলো 2−3i2 - 3i এবং 22।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ থেকে প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:
    x2+ax+14(a2−b2)=0x^2 + ax + \frac{1}{4}(a^2 - b^2) = 0
    ⇒4x2+4ax+a2−b2=0\Rightarrow 4x^2 + 4ax + a^2 - b^2 = 0
    ⇒(2x+a)2−b2=0\Rightarrow (2x + a)^2 - b^2 = 0
    ⇒(2x+a+b)(2x+a−b)=0\Rightarrow (2x + a + b)(2x + a - b) = 0

    সুতরাং,
    x=−(a+b)2অথবাx=−(a−b)2x = \frac{-(a+b)}{2} \quad \text{অথবা} \quad x = \frac{-(a-b)}{2}

    ধরি,
    α=−(a+b)2এবংβ=−(a−b)2\alpha = \frac{-(a+b)}{2} \quad \text{এবং} \quad \beta = \frac{-(a-b)}{2}

    তাহলে,
    α+β=−(a+b)−(a−b)2=−2a2=−a\alpha + \beta = \frac{-(a+b) - (a-b)}{2} = \frac{-2a}{2} = -a
    এবং
    α−β=−(a+b)−(−(a−b))2=−2b2=−b\alpha - \beta = \frac{-(a+b) - (-(a-b))}{2} = \frac{-2b}{2} = -b
    (যদি α\alpha ও β\beta এর অবস্থান পরিবর্তন করা হয়, তবে α−β=b\alpha - \beta = b হবে, অর্থাৎ α−β=∓b\alpha - \beta = \mp b)

    এখন, α+β\alpha+\beta ও α−β\alpha-\beta মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হবে:
    x2−((α+β)+(α−β))x+(α+β)(α−β)=0x^2 - ((\alpha+\beta) + (\alpha-\beta))x + (\alpha+\beta)(\alpha-\beta) = 0
    ⇒x2−(−a∓b)x+(−a)(∓b)=0\Rightarrow x^2 - (-a \mp b)x + (-a)(\mp b) = 0
    ⇒x2+(a±b)x±ab=0\Rightarrow x^2 + (a \pm b)x \pm ab = 0
    (প্রমাণিত)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ থেকে সমীকরণদ্বয়:
    mx2+2x+1=0…(1)mx^2 + 2x + 1 = 0 \quad \dots (1)
    x2+2x+m=0…(2)x^2 + 2x + m = 0 \quad \dots (2)

    যেহেতু α\alpha সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল, তাই এটি উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করবে:
    mα2+2α+1=0…(3)m\alpha^2 + 2\alpha + 1 = 0 \quad \dots (3)
    α2+2α+m=0…(4)\alpha^2 + 2\alpha + m = 0 \quad \dots (4)

    সমীকরণ (3) থেকে (4) বিয়োগ করে পাই:
    (m−1)α2+(1−m)=0(m - 1)\alpha^2 + (1 - m) = 0
    ⇒(m−1)α2−(m−1)=0\Rightarrow (m - 1)\alpha^2 - (m - 1) = 0
    ⇒(m−1)(α2−1)=0\Rightarrow (m - 1)(\alpha^2 - 1) = 0

    এখান থেকে দুটি ক্ষেত্র পাওয়া যায়:

    ক্ষেত্র ১: যদি m−1=0m - 1 = 0 হয়,
    তবে m=1m = 1।

    ক্ষেত্র ২: যদি α2−1=0\alpha^2 - 1 = 0 হয়,
    তবে α2=1⇒α=±1\alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1।

    যদি α=1\alpha = 1 হয়, তবে সমীকরণ (4) এ মান বসিয়ে পাই:
    12+2(1)+m=0⇒1+2+m=0⇒m=−31^2 + 2(1) + m = 0 \Rightarrow 1 + 2 + m = 0 \Rightarrow m = -3

    যদি α=−1\alpha = -1 হয়, তবে সমীকরণ (4) এ পাই:
    (−1)2+2(−1)+m=0⇒1−2+m=0⇒m=1(-1)^2 + 2(-1) + m = 0 \Rightarrow 1 - 2 + m = 0 \Rightarrow m = 1

    অতএব, mm এর মান 11 অথবা −3-3।
    (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন