উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের সরলরেখা:
   $4x + 3y - 12 = 0$
   $\Rightarrow 4x + 3y = 12$
   $\Rightarrow \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$

   রেখাটি $x$-অক্ষকে $A(3, 0)$ এবং $y$-অক্ষকে $B(0, 4)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   সুতরাং অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
   $\Delta = \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ বর্গ একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের সরলরেখা: $4x + 3y - 12 = 0$
   প্রদত্ত বিন্দু: $(x_1, y_1) = \left(\frac{11}{2}, 5\right)$
   ধরি, প্রতিবিম্বের স্থানাঙ্ক $(h, k)$।

   প্রতিবিম্বের সূত্রানুসারে:
   $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}$

   এখানে, $a = 4, b = 3, c = -12$
   $ax_1 + by_1 + c = 4\left(\frac{11}{2}\right) + 3(5) - 12 = 22 + 15 - 12 = 25$
   $a^2 + b^2 = 4^2 + 3^2 = 25$

   সুতরাং,
   $\frac{h - \frac{11}{2}}{4} = \frac{k - 5}{3} = \frac{-2(25)}{25} = -2$

   তাহলে,
   $\frac{h - \frac{11}{2}}{4} = -2 \Rightarrow h - \frac{11}{2} = -8 \Rightarrow h = \frac{11}{2} - 8 = -\frac{5}{2}$
   এবং
   $\frac{k - 5}{3} = -2 \Rightarrow k - 5 = -6 \Rightarrow k = -1$

   অতএব, নির্ণেয় প্রতিবিম্বের স্থানাঙ্ক $\left(-\frac{5}{2}, -1\right)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের সরলরেখা: $4x + 3y - 12 = 0$
   এর ঢাল, $m_1 = -\frac{4}{3}$

   ধরি, নির্ণেয় রেখার ঢাল $m$।
   রেখাটি উদ্দীপকের রেখার সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।
   সুতরাং,
   $\tan 45^\circ = \pm \frac{m - m_1}{1 + m m_1}$
   $\Rightarrow 1 = \pm \frac{m - \left(-\frac{4}{3}\right)}{1 + m\left(-\frac{4}{3}\right)} = \pm \frac{3m + 4}{3 - 4m}$

   (+) চিহ্ন নিয়ে:
   $3 - 4m = 3m + 4 \Rightarrow 7m = -1 \Rightarrow m = -\frac{1}{7}$

   (-) চিহ্ন নিয়ে:
   $3 - 4m = -(3m + 4) = -3m - 4 \Rightarrow m = 7$

   নির্ণেয় রেখাটি $(4, 5)$ বিন্দুগামী।

   $m = -\frac{1}{7}$ হলে রেখার সমীকরণ:
   $y - 5 = -\frac{1}{7}(x - 4)$
   $\Rightarrow 7y - 35 = -x + 4$
   $\Rightarrow x + 7y - 39 = 0$

   $m = 7$ হলে রেখার সমীকরণ:
   $y - 5 = 7(x - 4)$
   $\Rightarrow y - 5 = 7x - 28$
   $\Rightarrow 7x - y - 23 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় রেখাদ্বয়ের সমীকরণ: $x + 7y - 39 = 0$ এবং $7x - y - 23 = 0$।