উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: একটি বৃত্ত (0,2) (0,2) এবং (−1,3) (-1,3) বিন্দুগামী। দৃশ্যকল্প-২: x2+y2+ax+by−4=0 x^{2}+y^{2}+a x+b y-4=0 একটি বৃত্তের সমীকরণ এবং px+qy−1=0 p x+q y-1=0 একটি সরলরেখা।

  1. ক)

    3x2+3y2−12x+6y−3=0 3 x^{2}+3 y^{2}-12 x+6 y-3=0 বৃত্তটি দ্বারা x x -অক্ষের কর্তিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর বৃত্তটি যদি y y -অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে তার ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এ, a=−2,b=−4,p=3,q=−4 a=-2, b=-4, p=3, q=-4 হলে বৃত্তে অঙ্কিত যে স্পর্শক প্রদত্ত রেখার উপর লম্ব তার সমীকরণ নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
    3x2+3y2−12x+6y−3=03x^2+3y^2-12x+6y-3=0

    উভয়পক্ষকে 33 দ্বারা ভাগ করে পাই,
    x2+y2−4x+2y−1=0x^2+y^2-4x+2y-1=0

    বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2+y^2+2gx+2fy+c=0-এর সাথে তুলনা করে পাই,
    2g=−4  ⟹  g=−22g = -4 \implies g = -2
    2f=2  ⟹  f=12f = 2 \implies f = 1
    c=−1c = -1

    আমরা জানি, বৃত্ত দ্বারা xx-অক্ষের কর্তিত অংশের দৈর্ঘ্য =2g2−c= 2\sqrt{g^2-c}
    =2(−2)2−(−1)= 2\sqrt{(-2)^2 - (-1)}
    =24+1= 2\sqrt{4+1}
    =25 একক= 2\sqrt{5}\text{ একক} (Ans.)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, বৃত্তটির সমীকরণ:
    x2+y2+2gx+2fy+c=0…(1)x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 \quad \dots (1)

    যেহেতু বৃত্তটি yy-অক্ষকে স্পর্শ করে, সুতরাং,
    f2=c…(2)f^2 = c \quad \dots (2)

    বৃত্তটি (0,2)(0, 2) বিন্দুগামী হওয়ায়,
    02+22+2g(0)+2f(2)+c=00^2 + 2^2 + 2g(0) + 2f(2) + c = 0
      ⟹  4+4f+c=0\implies 4 + 4f + c = 0

    (2) হতে c=f2c = f^2 বসিয়ে পাই,
    f2+4f+4=0f^2 + 4f + 4 = 0
      ⟹  (f+2)2=0\implies (f+2)^2 = 0
      ⟹  f=−2\implies f = -2

    সুতরাং, c=(−2)2=4c = (-2)^2 = 4।

    আবার, বৃত্তটি (−1,3)(-1, 3) বিন্দুগামী হওয়ায়,
    (−1)2+32+2g(−1)+2f(3)+c=0(-1)^2 + 3^2 + 2g(-1) + 2f(3) + c = 0
      ⟹  1+9−2g+6(−2)+4=0\implies 1 + 9 - 2g + 6(-2) + 4 = 0
      ⟹  14−12−2g=0\implies 14 - 12 - 2g = 0
      ⟹  2−2g=0\implies 2 - 2g = 0
      ⟹  2g=2\implies 2g = 2
      ⟹  g=1\implies g = 1

    অতএব, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ,
    r=g2+f2−cr = \sqrt{g^2+f^2-c}
    =12+(−2)2−4= \sqrt{1^2 + (-2)^2 - 4}
    =1+4−4= \sqrt{1 + 4 - 4}
    =1=1 একক= \sqrt{1} = 1\text{ একক} (Ans.)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে বৃত্তের সমীকরণ:
    x2+y2+ax+by−4=0x^2+y^2+ax+by-4=0

    দেওয়া আছে, a=−2a = -2 এবং b=−4b = -4।
    তাহলে বৃত্তের সমীকরণটি দাঁড়ায়:
    x2+y2−2x−4y−4=0x^2+y^2-2x-4y-4=0

    এখানে,
    2g=−2  ⟹  g=−12g = -2 \implies g = -1
    2f=−4  ⟹  f=−22f = -4 \implies f = -2
    c=−4c = -4

    সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র =(−g,−f)=(1,2)= (-g, -f) = (1, 2)
    এবং ব্যাসার্ধ, r=g2+f2−c=(−1)2+(−2)2−(−4)=1+4+4=9=3 এককr = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2-(-4)} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3\text{ একক}।

    প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ:
    px+qy−1=0px+qy-1=0
    p=3p = 3 এবং q=−4q = -4 বসিয়ে পাই,
    3x−4y−1=0…(1)3x-4y-1=0 \quad \dots (1)

    (1) নং রেখার ওপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ:
    4x+3y+k=0…(2)4x+3y+k=0 \quad \dots (2)

    (2) নং রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক হলে, বৃত্তের কেন্দ্র (1,2)(1, 2) হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
    ∴∣4(1)+3(2)+k∣42+32=3\therefore \frac{|4(1) + 3(2) + k|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 3
      ⟹  ∣4+6+k∣16+9=3\implies \frac{|4+6+k|}{\sqrt{16+9}} = 3
      ⟹  ∣10+k∣5=3\implies \frac{|10+k|}{5} = 3
      ⟹  ∣10+k∣=15\implies |10+k| = 15
      ⟹  10+k=±15\implies 10+k = \pm 15

    ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
    10+k=15  ⟹  k=510+k = 15 \implies k = 5

    ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
    10+k=−15  ⟹  k=−2510+k = -15 \implies k = -25

    kk-এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
    নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ:
    4x+3y+5=04x+3y+5=0 অথবা 4x+3y−25=04x+3y-25=0 (Ans.)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন