উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

M=[(b+c)2a2a2b2(c+a)2b2c2c2(a+b)2] M=\left[\begin{array}{ccc} (b+c)^{2} & a^{2} & a^{2} \ b^{2} & (c+a)^{2} & b^{2} \ c^{2} & c^{2} & (a+b)^{2} \end{array}\right]

  1. ক)

    x x এর কোন মানের জন্য [x−2345] \left[\begin{array}{cc}x-2 & 3 \ 4 & 5\end{array}\right] একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে?

    (1)
  2. খ)

    দেখাও যে, ∣M∣=2abc(a+b+c)3 |M|=2 a b c(a+b+c)^{3} .

    (2)
  3. গ)

    a=b=c=1 a=b=c=1 হলে, M−1 M^{-1} নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে যদি এর নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
    অতএব,
    ∣x−2345∣=0\begin{vmatrix} x-2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 0
    ⇒5(x−2)−12=0\Rightarrow 5(x - 2) - 12 = 0
    ⇒5x−10−12=0\Rightarrow 5x - 10 - 12 = 0
    ⇒5x=22\Rightarrow 5x = 22
    ⇒x=225\Rightarrow x = \frac{22}{5}

    নির্ণেয় মান: x=225x = \frac{22}{5}

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত নির্ণায়ক,
    ∣M∣=∣(b+c)2a2a2b2(c+a)2b2c2c2(a+b)2∣|M| = \begin{vmatrix} (b+c)^2 & a^2 & a^2 \\ b^2 & (c+a)^2 & b^2 \\ c^2 & c^2 & (a+b)^2 \end{vmatrix}

    কলাম রূপান্তর: C1′=C1−C3C_1' = C_1 - C_3 এবং C2′=C2−C3C_2' = C_2 - C_3 করে পাই,
    ∣M∣=∣(b+c)2−a20a20(c+a)2−b2b2c2−(a+b)2c2−(a+b)2(a+b)2∣|M| = \begin{vmatrix} (b+c)^2 - a^2 & 0 & a^2 \\ 0 & (c+a)^2 - b^2 & b^2 \\ c^2 - (a+b)^2 & c^2 - (a+b)^2 & (a+b)^2 \end{vmatrix}

    =∣(b+c−a)(a+b+c)0a20(c+a−b)(a+b+c)b2(c−a−b)(a+b+c)(c−a−b)(a+b+c)(a+b)2∣= \begin{vmatrix} (b+c-a)(a+b+c) & 0 & a^2 \\ 0 & (c+a-b)(a+b+c) & b^2 \\ (c-a-b)(a+b+c) & (c-a-b)(a+b+c) & (a+b)^2 \end{vmatrix}

    প্রথম দুটি কলাম থেকে (a+b+c)(a+b+c) কমন নিয়ে পাই,
    ∣M∣=(a+b+c)2∣b+c−a0a20c+a−bb2c−a−bc−a−b(a+b)2∣|M| = (a+b+c)^2 \begin{vmatrix} b+c-a & 0 & a^2 \\ 0 & c+a-b & b^2 \\ c-a-b & c-a-b & (a+b)^2 \end{vmatrix}

    সারি রূপান্তর: R3′=R3−(R1+R2)R_3' = R_3 - (R_1 + R_2) করে পাই,
    ∣M∣=(a+b+c)2∣b+c−a0a20c+a−bb2−2b−2a2ab∣|M| = (a+b+c)^2 \begin{vmatrix} b+c-a & 0 & a^2 \\ 0 & c+a-b & b^2 \\ -2b & -2a & 2ab \end{vmatrix}

    =2(a+b+c)2∣b+c−a0a20c+a−bb2−b−aab∣= 2(a+b+c)^2 \begin{vmatrix} b+c-a & 0 & a^2 \\ 0 & c+a-b & b^2 \\ -b & -a & ab \end{vmatrix}

    এখন C1′=C1+1aC3C_1' = C_1 + \frac{1}{a}C_3 এবং C2′=C2+1bC3C_2' = C_2 + \frac{1}{b}C_3 প্রয়োগ করে পাই,
    =2(a+b+c)2∣b+ca2ba2b2ac+ab200ab∣= 2(a+b+c)^2 \begin{vmatrix} b+c & \frac{a^2}{b} & a^2 \\ \frac{b^2}{a} & c+a & b^2 \\ 0 & 0 & ab \end{vmatrix}

    তৃতীয় সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই,
    =2(a+b+c)2⋅ab[(b+c)(c+a)−a2b⋅b2a]= 2(a+b+c)^2 \cdot ab \left[ (b+c)(c+a) - \frac{a^2}{b} \cdot \frac{b^2}{a} \right]
    =2ab(a+b+c)2[bc+ab+c2+ca−ab]= 2ab(a+b+c)^2 \left[ bc + ab + c^2 + ca - ab \right]
    =2ab(a+b+c)2[c(a+b+c)]= 2ab(a+b+c)^2 [c(a+b+c)]
    =2abc(a+b+c)3= 2abc(a+b+c)^3 (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    a=b=c=1a=b=c=1 হলে,
    M=[(1+1)2121212(1+1)2121212(1+1)2]=[411141114]M = \begin{bmatrix} (1+1)^2 & 1^2 & 1^2 \\ 1^2 & (1+1)^2 & 1^2 \\ 1^2 & 1^2 & (1+1)^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}

    এখন,
    ∣M∣=4(16−1)−1(4−1)+1(1−4)=4(15)−3−3=60−6=54≠0|M| = 4(16 - 1) - 1(4 - 1) + 1(1 - 4) = 4(15) - 3 - 3 = 60 - 6 = 54 \neq 0

    সহগুণকসমূহ নির্ণয়:
    A11=+(16−1)=15A_{11} = +(16 - 1) = 15
    A12=−(4−1)=−3A_{12} = -(4 - 1) = -3
    A13=+(1−4)=−3A_{13} = +(1 - 4) = -3
    A21=−(4−1)=−3A_{21} = -(4 - 1) = -3
    A22=+(16−1)=15A_{22} = +(16 - 1) = 15
    A23=−(4−1)=−3A_{23} = -(4 - 1) = -3
    A31=+(1−4)=−3A_{31} = +(1 - 4) = -3
    A32=−(4−1)=−3A_{32} = -(4 - 1) = -3
    A33=+(16−1)=15A_{33} = +(16 - 1) = 15

    অতএব, adj(M)=[15−3−3−315−3−3−315]\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 15 & -3 & -3 \\ -3 & 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15 \end{bmatrix}

    সুতরাং,
    M−1=1∣M∣adj(M)=154[15−3−3−315−3−3−315]=118[5−1−1−15−1−1−15]M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M) = \frac{1}{54} \begin{bmatrix} 15 & -3 & -3 \\ -3 & 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15 \end{bmatrix} = \frac{1}{18} \begin{bmatrix} 5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5 \end{bmatrix}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন