উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: z=−2−23iz=-2-2\sqrt{3}i একটি জটিল রাশি।দৃশ্যকল্প-২: z1=1−ix,z2=a−ib,a,b,x∈R,i=−1z_1 = 1 - ix, z_2 = a-ib, a, b, x \in R, i = \sqrt{-1}

  1. ক)

    দৃশ্যকল্প-১ হতে Arg(z)\text{Arg}(\sqrt{z}) নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 হলে, দেখাও যে, z1=z1‾z2z_1 = \overline{z_1}z_2 সমীকরণে x এর একটি বাস্তব মান বিদ্যমান।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর আলোক প্রমাণ কর যে (z4)m+(zˉ4)m={2,যখন m এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য−1,যখন m এর মান অপর কোনো পূর্ণসংখ্যা \left( \frac{z}{4} \right)^m + \left( \frac{\bar{z}}{4} \right)^m = \begin{cases} 2, & \text{যখন m এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য} \ -1, & \text{যখন m এর মান অপর কোনো পূর্ণসংখ্যা} \end{cases}

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, z=−2−23iz = -2 - 2\sqrt{3}i
    যেহেতু বাস্তব অংশ x=−2<0x = -2 < 0 এবং কাল্পনিক অংশ y=−23<0y = -2\sqrt{3} < 0, সেহেতু zz তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
    ∴Arg(z)=−(π−tan⁡−1∣−23−2∣)=−(π−tan⁡−1(3))=−(π−π3)=−2π3\therefore \text{Arg}(z) = -\left(\pi - \tan^{-1}\left|\frac{-2\sqrt{3}}{-2}\right|\right) = -\left(\pi - \tan^{-1}(\sqrt{3})\right) = -\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{2\pi}{3}

    অথবা, Arg(z)\text{Arg}(\sqrt{z}) নির্ণয়ের ক্ষেত্রে:
    z=4(cos⁡(−2π3)+isin⁡(−2π3))z = 4\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)
      ⟹  z=±2(cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3))=±(1−3i)\implies \sqrt{z} = \pm 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = \pm(1 - \sqrt{3}i)
    অতএব, Arg(z)=−π3\text{Arg}(\sqrt{z}) = -\frac{\pi}{3} অথবা 2π3\frac{2\pi}{3}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, z1=1−ixz_1 = 1 - ix এবং z2=a−ibz_2 = a - ib
    ∴z1‾=1+ix\therefore \overline{z_1} = 1 + ix

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    z1=z1‾z2  ⟹  1−ix1+ix=a−ibz_1 = \overline{z_1}z_2 \implies \frac{1 - ix}{1 + ix} = a - ib

    বিয়োজন-যোজন করে পাই,
    (1−ix)−(1+ix)(1−ix)+(1+ix)=(a−ib)−1(a−ib)+1\frac{(1 - ix) - (1 + ix)}{(1 - ix) + (1 + ix)} = \frac{(a - ib) - 1}{(a - ib) + 1}
      ⟹  −2ix2=(a−1)−ib(a+1)−ib\implies \frac{-2ix}{2} = \frac{(a - 1) - ib}{(a + 1) - ib}
      ⟹  −ix=[(a−1)−ib][(a+1)+ib](a+1)2+b2\implies -ix = \frac{[(a - 1) - ib][(a + 1) + ib]}{(a + 1)^2 + b^2}
      ⟹  −ix=(a2+b2−1)−2ib(a2+b2)+2a+1\implies -ix = \frac{(a^2 + b^2 - 1) - 2ib}{(a^2 + b^2) + 2a + 1}

    যেহেতু a2+b2=1a^2 + b^2 = 1:
    −ix=0−2ib1+2a+1=−2ib2(a+1)=−iba+1-ix = \frac{0 - 2ib}{1 + 2a + 1} = \frac{-2ib}{2(a + 1)} = \frac{-ib}{a + 1}
      ⟹  x=ba+1\implies x = \frac{b}{a + 1}

    যেহেতু a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, তাই x=ba+1x = \frac{b}{a + 1} একটি বাস্তব সংখ্যা।
    সুতরাং, z1=z1‾z2z_1 = \overline{z_1}z_2 সমীকরণে xx-এর একটি বাস্তব মান বিদ্যমান। (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, z=−2−23iz = -2 - 2\sqrt{3}i
    ∴zˉ=−2+23i\therefore \bar{z} = -2 + 2\sqrt{3}i

    এখানে,
    z4=−1−3i2=ω2\frac{z}{4} = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} = \omega^2
    zˉ4=−1+3i2=ω\frac{\bar{z}}{4} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} = \omega
    (যেখানে ω\omega হলো ১-এর একটি কাল্পনিক ঘনমূল, যার জন্য ω3=1\omega^3 = 1 এবং 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0)

    প্রদত্ত রাশি,
    (z4)m+(zˉ4)m=(ω2)m+(ω)m=ω2m+ωm\left( \frac{z}{4} \right)^m + \left( \frac{\bar{z}}{4} \right)^m = (\omega^2)^m + (\omega)^m = \omega^{2m} + \omega^m

    ১. যখন mm সংখ্যাটি 33 দ্বারা বিভাজ্য:
    ধরি, m=3km = 3k (k∈Zk \in \mathbb{Z})
    ∴ω2m+ωm=ω6k+ω3k=(ω3)2k+(ω3)k=1+1=2\therefore \omega^{2m} + \omega^m = \omega^{6k} + \omega^{3k} = (\omega^3)^{2k} + (\omega^3)^k = 1 + 1 = 2

    ২. যখন mm অপর কোনো পূর্ণসংখ্যা:
    (i) m=3k+1m = 3k + 1 হলে: ω2(3k+1)+ω3k+1=ω2+ω=−1\omega^{2(3k+1)} + \omega^{3k+1} = \omega^2 + \omega = -1
    (ii) m=3k+2m = 3k + 2 হলে: ω2(3k+2)+ω3k+2=ω4+ω2=ω+ω2=−1\omega^{2(3k+2)} + \omega^{3k+2} = \omega^4 + \omega^2 = \omega + \omega^2 = -1

    অতএব,
    (z4)m+(zˉ4)m={2,যখন m এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য−1,যখন m এর মান অপর কোনো পূর্ণসংখ্যা\left( \frac{z}{4} \right)^m + \left( \frac{\bar{z}}{4} \right)^m = \begin{cases} 2, & \text{যখন } m \text{ এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য} \\ -1, & \text{যখন } m \text{ এর মান অপর কোনো পূর্ণসংখ্যা} \end{cases}
    (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন