গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

(a) দেওয়া আছে,
$y = \sin \left\{2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right\}$
ধরি, $x = \cos \theta \implies \theta = \cos^{-1} x$
তাহলে,
$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)}} = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$
অতএব,
$y = \sin \left\{2 \tan^{-1}\left(\tan\frac{\theta}{2}\right)\right\} = \sin\left(2 \cdot \frac{\theta}{2}\right) = \sin \theta$
যেহেতু $x = \cos \theta$, সেহেতু $\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-x^2}$
সুতরাং, $y = \sqrt{1-x^2}$
এখন, $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(1-x^2) = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
উত্তর: $-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

(b) ধরি, $y = (\sqrt{x})^{\sqrt{x}} = (x^{1/2})^{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{2}\sqrt{x}}$
উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম ($\ln$) নিয়ে পাই,
$\ln y = \ln\left(x^{\frac{1}{2}\sqrt{x}}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{x} \ln x$
উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{d}{dx}\sqrt{x}\right) \ln x + \sqrt{x} \left(\frac{d}{dx}\ln x\right) \right]$
$\implies \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right]$
$\implies \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2 + \ln x}{4\sqrt{x}}$
$\implies \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2 + \ln x}{4\sqrt{x}} \right) = (\sqrt{x})^{\sqrt{x}} \left( \frac{2 + \ln x}{4\sqrt{x}} \right)$
উত্তর: $(\sqrt{x})^{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 + \ln x}{4\sqrt{x}}$