পরিসংখ্যান ২য় পত্র • Combined Board • সমন্বিত বোর্ড ২০২৬

পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশন নিম্নরূপ :
P(x)=x+15,x=−2,−1,0,1,2P(x) = \frac{x+1}{5}, x = -2, -1, 0, 1, 2

  1. ক)

    সম্ভাবনা বিন্যাস কাকে বলে?

    (1)
  2. খ)

    নবজাতক শিশুদের মধ্যে "ছেলে শিশু হওয়ার সংখ্যা" কি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক? ব্যাখ্যা কর।

    (2)
  3. গ)

    উদ্দীপকের আলোকে P(−2≤x<2)P(-2 \leq x < 2) এর মান নির্ণয় কর।

    (3)
  4. ঘ)

    প্রদত্ত উদ্দীপকে P(x)P(x) একটি সম্ভাবনা ফাংশন — বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    কোনো দৈব চলকের সম্ভাব্য মানসমূহ এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনার তালিকাকে বা গাণিতিক প্রকাশকে সম্ভাবনা বিন্যাস (Probability Distribution) বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    হ্যাঁ, নবজাতক শিশুদের মধ্যে "ছেলে শিশু হওয়ার সংখ্যা" একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক।

    কারণ, কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যক নবজাতক শিশুর দলের মধ্যে ছেলে শিশুর সংখ্যা সর্বদা পূর্ণসংখ্যায় (যেমন: ০, ১, ২, ৩, ...) গণনা করা হয়। এটি কখনোই ভগ্নাংশ বা অবিচ্ছিন্ন কোনো মান গ্রহণ করতে পারে না। যেহেতু চলকটির মান গণনযোগ্য পূর্ণসংখ্যা, তাই এটি একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকে প্রদত্ত সম্ভাবনা ফাংশনটি হলো:
    P(x)=x+15P(x) = \frac{x+1}{5}; যেখানে x=−2,−1,0,1,2x = -2, -1, 0, 1, 2

    আমাদের P(−2≤x<2)P(-2 \le x < 2) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
    শর্তানুসারে xx এর গ্রহণযোগ্য মানগুলো হলো: x=−2,−1,0,1x = -2, -1, 0, 1

    অতএব,
    P(−2≤x<2)=P(x=−2)+P(x=−1)+P(x=0)+P(x=1)P(-2 \le x < 2) = P(x = -2) + P(x = -1) + P(x = 0) + P(x = 1)

    মানগুলো বসিয়ে পাই:
    P(x=−2)=−2+15=−15P(x = -2) = \frac{-2+1}{5} = -\frac{1}{5}
    P(x=−1)=−1+15=0P(x = -1) = \frac{-1+1}{5} = 0
    P(x=0)=0+15=15P(x = 0) = \frac{0+1}{5} = \frac{1}{5}
    P(x=1)=1+15=25P(x = 1) = \frac{1+1}{5} = \frac{2}{5}

    অতএব,
    P(−2≤x<2)=−15+0+15+25=25=0.4P(-2 \le x < 2) = -\frac{1}{5} + 0 + \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{2}{5} = 0.4

    উত্তর: P(−2≤x<2)=25P(-2 \le x < 2) = \frac{2}{5} বা 0.40.4।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    একটি ফাংশন P(x)P(x) বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের সম্ভাবনা ফাংশন (Probability Mass Function) হতে হলে দুটি মৌলিক শর্ত পূরণ করতে হয়:
    ১. প্রতিটি মানের জন্য সম্ভাবনা অঋণাত্মক হতে হবে, অর্থাৎ 0≤P(x)≤10 \le P(x) \le 1
    ২. সমস্ত সম্ভাব্য মানের সম্ভাবনার সমষ্টি ১ হতে হবে, অর্থাৎ ∑P(x)=1\sum P(x) = 1

    প্রদত্ত উদ্দীপকে P(x)=x+15P(x) = \frac{x+1}{5}; যেখানে x=−2,−1,0,1,2x = -2, -1, 0, 1, 2

    ১ম শর্ত পরীক্ষা:
    x=−2x = -2 হলে, P(−2)=−2+15=−15<0P(-2) = \frac{-2+1}{5} = -\frac{1}{5} < 0
    যেহেতু সম্ভাবনার মান কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, কিন্তু এখানে P(x=−2)P(x = -2) এর মান ঋণাত্মক (−0.2-0.2) এসেছে, তাই এটি সম্ভাবনার প্রথম শর্ত লঙ্ঘন করেছে।

    ২য় শর্ত পরীক্ষা:
    ∑x=−22P(x)=P(−2)+P(−1)+P(0)+P(1)+P(2)\sum_{x=-2}^{2} P(x) = P(-2) + P(-1) + P(0) + P(1) + P(2)
    =−15+0+15+25+35=−1+0+1+2+35=55=1= -\frac{1}{5} + 0 + \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{-1+0+1+2+3}{5} = \frac{5}{5} = 1
    সম্ভাবনার সমষ্টি ১ হলেও প্রথম শর্ত পূরণ হয়নি।

    মতামত:
    যেহেতু সম্ভাবনার মান কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না অথচ x=−2x = -2 এর জন্য P(x)<0P(x) < 0, সেহেতু প্রদত্ত P(x)P(x) একটি সম্ভাবনা ফাংশন নয়।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন